Question

URGENTE: Los gastos mensuales, de una empresa por la fabricación de x ordenadores vienen dados por la función G(x), y los ingresos que se obtienen por las ventas son I(x), ambas en euros.
G(x)=2000+25x
I(x)=60x-0.01x2
¿Cuántos ordenadores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos-gastos) sea máximo?

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Optimización

$\textbf{Problema :}$

Los gastos mensuales, de una empresa por la fabricación de $x$ ordenadores vienen dados por la función $G_{(x)}$, y los ingresos que se obtienen por las ventas son $I_{(x)}$, ambas en euros.

$G_{(x)} = 2000 + 25x$

$I_{(x)} = 60x-0.01x^{2}$

¿Cuántos ordenadores deben fabricarse para que el beneficio sea máximo?

RESOLUCIÓN

De manera intuitiva podemos determinar que el beneficio se puede obtener de forma directa como la diferencia de los ingresos y los gastos. Esto es lógico debido a que la manera habitual de calcular las ganancias es como la diferencia entre el precio de venta y el precio de costo. Por mencionar un ejemplo, si compro dos kilos de manzana en $2$ dolares y los vendo a $5$ dolares, entonces obtengo una ganancia de $3$ dolares.

$U_{(x)} = I_{(x)} - G_{(x)}$

$U_{(x)} = 60x-0.01x^{2} - (2000 + 25x)$

$U_{(x)} = 60x-0.01x^{2} - 2000 - 25x$

$U_{(x)} = -0.01x^{2} +35x - 2000$

Notemos que la función utilidad es una función polinomial de segundo grado, cuyo coeficiente principal es negativo, esto nos indica que posee un máximo absoluto, el cual podemos hallar derivando la función.

$U_{(x)}' = -0.02x +35 = 0\ \to\ x = 1750$

Este resultado nos indica que se necesita fabricar $1750$ ordenadores para la ganancia máxima.

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{Se debe fabricar 1750 ordenadores para el beneficio m\'aximo}}$