Question

urgente ejercicios calculo

Answer 1

Haber para la primera tienes, que aplicar las reglas de derivación, entonces recordando la derivada del producto,

$f(u,v)=uv \\ f'(u,v)=u'v+uv'$

entonces,

$f(x)=xe^{x} \\ f'(x)=(x)'(e^{x})+(x)(e^{x})'$

para la primera derivada, tienes una expresión de grado (1), entonces aplicando la deirvada de la potencia,

$f(x)=x^{n} \\ f'(x)=nx^{n-1}$

y para la otra derivada, es una exponencial, que derivadno te queda lo mismo, entonces,

$f'(x)=(1(x^{1-1}))(e^{x})+(x)(e^{x}) \\ f'(x)=(1(x^{0}))e^{x}+xe^{x} \\ f'(x)=1(1)e^{x}+xe^{x} \\ f'(x)=e^{x}+xe^{x}$

los pasos que he hecho son demaciado obvios, pero es bueno que tengas siempre la idea del "porque rayos" sale eso...para el siguiente,

$f(x)=\displaystyle(2x+3)^{\frac{3}{2}}$

tienes dos opciones, derivar usando la derivada de la potencia, entonces,

$\displaystyle f'(x)=\frac{3}{2}(2x+3)^{\frac{3}{2}-1} \\ \\ f'(x)=\frac{3}{2}(2x+3)^{\frac{1}{2}}$

o la otra que es, sabiendo que,

$\displaystyle\sqrt[n]{x^{m}}=x^{\frac{m}{n}}$

entonces,

$f(x)= \sqrt[2]{(2x+3)^{3}}$

y aplicamos la derivada de la raíz, más general para la raíz n-èsima...entonces

$f(x)=\displaystyle \sqrt[n]{x} \\f'(x)=\frac{(x)'}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$

aplicando a nuestro ejercicio, identificas que n=2, entonces

$f'(x)=\displaystyle\frac{[(2x+3)^{3}]'}{2\sqrt[2]{[(2x+3)^{3}]^{2-1}}}=\frac{3(2x+3)^{2}(2x+3)'}{3 \sqrt[2]{[(2x+3)^{3}]^{1}} }=\frac{(2x+3)^{2}(2)}{3 \sqrt[2]{(2x+3)^{3}} }$

en el numerador fíjate que se usa la regla  de la cadena, es decir, derivas como que la caja más grande es decir toda la potencia 3, y luego, multiplicas por la derivada de las cajitas más pequeñas,,,que sería lo que está dentro de la potencia....y finalmente para simplificar, recordar las leyes de los exponentes,

$\displaystyle\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}$

entonces,

$f'(x)=\displaystyle(2x+3)^{2-\frac{3}{2}}\frac{3}{2}=\frac{3}{2}(2x+3)^{\frac{1}{2}}$

y es el mismo resultado que obtuvimos...como ves, puedes usar cualquier de los métodos pero siempre deberás llegar a lo mismo.

para la derivación implicita, lo único que debes recordar es que, si por ejemplo, derivamos ye en función de equis es decir  $\displaystyle\frac{dy}{dx}$, entonces, derivamos todo como de costumbre, usando derivada de productos,po tencias, lo garitmos, exponenciales, lo que sea...PERO cuando nos topemos con derivadas de ye, agregaremos otra derivada, es decir,

 $\displaystyle f(x)=2x+y^{3} \\ \frac{dy}{dx}=2x+3y^{2}\frac{dy}{dx}$

¿entendido?, derivé ye, respectode equis, entonces agrego la derivada a la variable ye...haber,

$x^{3}+xy+y^{2}=4$

vamos a derivar ye respecto de equis, entonces,

$3x^{2}+[(x)(y)'+(y)(x)']+2y(y')=0$

ningún  problema?, el primer término no hubo problema, no hay que agregar nada, para el segundo hay un producto, entonces, aplicamos derivada del prodcuto, y para el último derivamos como de costumbre, pero AGREGAMOS la derivada..y ya----sigamos,

$3x^{2}+(x)(1)(y')+(y)(1)+2y(y')=0 \\ 3x^{2}+xy'+y+2yy'=0$

ahora, agrupamos todo lo que tenga y(prima) del un solo lado,

$xy'+2yy'=-y-3x^{2} \\ y'(x+2y)=-(y+3x^{2}) \\ \\ y'=\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\frac{y+3x^{2}}{x+2y}$

y eso sería todo...

ahora quiero que intentes hallar $\displaystyle\frac{dx}{dy}$, nuevamente derivamos todo como de costumbre, si tienes que aplicar regla de prodctuo HAZLO¡..-y ahoravamos a agregar un mmm...(x') o si gustas puedes ponerle (dx)/(dy), cuando derives algo que tenga equis....luego agrupas y despejas...vamos¡¡

y para el último tienes que aplicar la regla de potencia...entonces,

$f(x)=3x^{2}-x+5\\f'(x)=6x-1 \\ f''(x)=6$

y eso sería todo, espero te sirva y si tienes alguan duda me avisas