Question

¡Urgente!, Demuestre que si la matriz A (cuadrada) es invertible y antisimétrica, entonces A^-1 es antisimétrica.

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Matrices

$\textbf{Problema :}$

Demuestre que si la matriz cuadrada $A$ es invertible y antisimétrica, entonces $A^{-1}$ es antisimétrica.

RESOLUCIÓN

Note que el problema indica que la matriz $A$ es invertible, el cual es un detalle importante ya que implica la existencia de la inversa de la matriz $A^{-1}$ y además la matriz $A$ es antisimétrica, entonces.

                                                   $\boxed{A^{T} = -A}$

Debido a que ambas matrices son iguales, ello implica que sus respectivas matrices inversas son iguales.

                                            $\boxed{ \boldsymbol{(} A^{T} \boldsymbol{)}^{-1} = \boldsymbol{(} -A \boldsymbol{)}^{-1} }$

Aplicando el $\textrm{Teorema I}$ y el $\textrm{Teorema II}$ simultáneamente.

                                            $\boxed{ \boldsymbol{(} A^{\textrm{-1}} \boldsymbol{)}^{T} = - \boldsymbol{(} A^{-1} \boldsymbol{)} }$

De esta manera queda demostrado que la matriz $A^{-1}$ es antisimétrica.

$\boxed{\textrm{l.q.q.d}}$