Question

Urgente!!
Calcular la siguiente integral racional, hay que descomponer lo en fracciones parciales( necesito el procedimiento)

∫ dx/ x(x^2+1)^2 dx

Answer 1

El calculo de la integral racional dio como resultado:

∫1/x(x²+1)dx = 1/2[1/(x²+1)-ln(x²+1)+ln(x²)] + C

Explicación paso a paso:

Datos;

$\int\limits {\frac{1}{x(x^{2}+1)^{2} } } \, dx$

Aplicar cambio de variable;

u = x² + 1     ⇒ x² = u-1

du = 2x dx

multiplicar y dividir por 2x;

sustituir;

$\int\limits {\frac{2x}{2x^{2}(x^{2}+1)^{2} } } \, dx$

= $\int\limits {\frac{1}{2u^{2}(u-1) } } \, du$

Aplicar fracciones parciales;

= $\frac{A}{u^{2} } +\frac{B}{u}+\frac{C}{u-1}$

1 = A(u²-u) + B(u³-u²)+Cu³

1 = Au²-Au + Bu³-Bu²+Cu³

Agrupar e igualar términos;

1 = -A ⇒ A = -1

A - B = 0

sustituir;

-1 - B = 0 ⇒ B = -1

B+C = 0

sustituir;

-1 + C = 0 ⇒ C = 1

Sustituir;

=$\frac{1}{2} \int\limits {-\frac{1}{u^{2}}-\frac{1}{u}+\frac{1}{u-1} } \, dx$

Aplicar propiedad de la suma;

$=\frac{1}{2}( -\int\limits {\frac{1}{u^{2}}} \, dx-\int\limits {\frac{1}{u}} \, dx+\int\limits {\frac{1}{u-1}} \, dx)$

$-\int\limits {\frac{1}{u^{2}}} \, dx =-\frac{1}{u} \\-\int\limits {\frac{1}{u}} \, dx= ln(u)\\+\int\limits {\frac{1}{u-1}} \, dx=ln(u-1)$

= 1/2[-(-1/u)-ln(u)+ln(u-1)]

Devolver el cambio;

= 1/2[1/(x²+1)-ln(x²+1)+ln(x²+1-1)]

= 1/2[1/(x²+1)-ln(x²+1)+ln(x²)] + C