Question

Urgente ayúdenme por favor
Problema 10. Encuentre el valor de x que satisface la siguiente ecuación trigonométrica para ángulos entre 0°≤ x ≤ 360°.
2〖sen〗^2 (x)+cos⁡(x)-1=0

Answer 1

Pasemos todo a Radianes, buscas el ángulo x tal que 0π ≤ x ≤ 2π

Entonces, según tu ecuación:
$2 \: { \sin}^{2} (x) + \cos(x) - 1 = 0$
Primero, tenemos una identidad trigonométrica que nos dice:
${ \sin}^{2} (x) = 1 - { \cos}^{2} (x)$
Reemplazamos:
$2(1 - { \cos }^{2} (x)) + \cos(x) - 1 = 0$
Operamos:
$2 - 2 \: { \cos }^{2}(x) + \cos(x) - 1 = 0$
Pasamos el dos el principio a restarse con el menos uno del final y tenemos:
$- 2 \: { \cos }^{2} (x) + \cos(x) + 1 = 0$
Factorizamos un menos de la ecuación:

$- (2 \: { \cos }^{2} (x) - \cos(x) - 1) = 0$
Pasamos a dividir el menos con el cero del otro lado y tenemos finalmente:
$2 \: { \cos }^{2} (x) - \cos(x) - 1 = 0$
A partir de este punto empezamos con la factorización, pon mucha atención a los pasos:

Esto por simple intuición sabemos que es lo mismo:
$- \cos(x) = - 2 \: \cos(x) + \cos(x)$
Reemplazamos eso:

$2 \: { \cos }^{2} (x) - 2 \: \cos(x) + \cos(x) - 1 = 0$
Ahora, en los dos primeros términos vamos a sacar factor común 2 cos(x) y en los dos últimos un más:
$2 \cos(x) ( \cos(x) - 1 ) + ( \cos(x) - 1) = 0$

Y factorizamos un (cos(x) - 1) de ambas partes:
$(2 \cos(x) + 1)( \cos(x) - 1) = 0$
Esto que acabamos de hacer se llama factorización por agrupación de términos, si no entendiste muy bien este paso te recomiendo que busques sobre el tema.

Entonces, una vez hecho esto sabemos que:
$2 \cos(x) + 1 = 0 \: \: o \: \cos(x) - 1 = 0$

Para la primer ecuación:
$\cos(x) = - \frac{1}{2}$
Para la segunda ecuación:
$\cos(x) = 1$
Para la primer ecuacion, como puedes ver la respuesta es negativa, y coseno es negativo tanto en el segundo como el tercer cuadrante:

Coseno vale 1/2 cuando x vale π/3, y como hablamos del tercer y segundo cuadrante entonces:

Cuadrante II: π - x
$\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
Sumándole el periodo:
$\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$
Ahora, sí k = 0: 2π/3 sigue en el rango:
Sí k = 1 2π/3 + 2π se pasa del rango, por ende no nos sirve.

Cuadrante III: (π + x) - 2π
$(\pi + \frac{\pi}{3}) - 2\pi = \frac{4\pi}{3} - 2\pi = - \frac{ 2\pi}{3}$
Sumándole el periodo:
$- \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$
Ahora, sí k = 0: -2π/3 no está en el rango.
Sí k = 1: x = 4π/3, está en el rango.
Sí k = 2: -2π/3 + 4π no está en el rango.

Ya tenemos dos soluciones, 2π/3 y 4π/3

Para la segunda ecuación, la respuesta es positiva, coseno es positivo en los cuadrantes uno y cuatro.

Coseno vale 1 cuando x vale 0, y como hablamos del primer y cuatro cuadrante entonces:

Cuadrante I: x queda igual
Simplemente sumamos el periodo:
$0\pi + 2k\pi$
Ahora, sí k = 0: 0π está en el rango.
Sí k = 1: 2π está en el rango.
Sí k = 2: 4π no está en el rango.

Cuadrante IV: 2π - x
$2\pi - 0\pi = 2\pi$
Sumándole el periodo:
$2\pi + 2k\pi$
Ahora, sí k = 0: 2π está en el rango.
Sí k = 1: 4π no lo está:

Y ahora tenemos otras 3 soluciones, 0π y 2π en el primer cuadrante, y 2π en el cuarto, pero no es necesario incluir esta última ya que ya está incluida en las soluciones del primer cuadrante.

Y tarara tan tan ta taaaan, aquí están las soluciones!

$0\pi \: \frac{2\pi}{3} \: \frac{4\pi}{3} \: 2\pi$
Espero haberte ayudado y que hayas entendido. Sería super que me dieras gracias y seleccionaras está respuesta como la mejor, me demore bastante haciendo esta respuesta :)

Un super saludo!