urgente ayuda
Un termómetro que marca 16ºF se coloca en un horno precalentado a una temperatura constante. Por una ventana de vidrio en la puerta del horno, un observador registra que después de medio minuto el termómetro marca 110ºF. Determine la T(t) del horno si se encuentra a 350.
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
E: Un termómetro que indica 70 ıF se coloca en un horno precalentado y mantenido a temperatura constante. A través de una ventana de vidrio del horno, un observador registra que la
temperatura marcada por el termómetro es de 110 ıF después de medio minuto y de 145 ıF
después de 1 min. ¿A qué temperatura está el horno?
D: H La temperatura T .t/, en ıF, que marca el termómetro al cabo de t minutos está dada por la
solución del PVI:
T
0
.t/ D kŒT .t/ Ta; con T .0/ D 70 y además T
1
2
D 110 & T .1/ D 145:
Donde Ta es la temperatura del horno. Resolvamos primero la ED.
dT
dt
D k.T Ta/ )
dT
T Ta
D k dt )
Z
dT
T Ta
D k
Z
dt )
) ln j T Ta j ) kt C C1 ) j T Ta j D e
k tCC1 D e
k t
e
C1 D e
k tC )
[Observe que T < Ta, entonces j T Ta j D .T Ta/].
) .T Ta/ D Cek t ) T C Ta D Cek t ) T .t/ D Ta Cek t
:
La expresión anterior es la solución general de la ED. Mediante las condiciones, encontraremos
la solución particular.
T .0/ D 70 ) Ta Ce0 D 70 ) C D Ta 70 ) T .t/ D Ta .Ta 70/ek tI
T
1
2
D 110 ) Ta .Ta 70/e
1
2
k D 110 ) Ta C .70 Ta/e
k
2 D 110I
T .1/ D 145 ) Ta .Ta 70/ek D 145 ) Ta C .70 Ta/ek D 145:
Se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas .Ta & k/ que resolvemos así:
Ta C .70 Ta/e
k
2 D 110 ) e
k
2 D
110 Ta
70 Ta
) e
k D
110 Ta
70 Ta
2
I
Ta C .70 Ta/ek D 145 ) e
k D
145 Ta
70 Ta
:
Igualando las expresiones para e
k
se tiene que:
110 Ta
70 Ta
2
D
145 Ta
70 Ta
) .110 Ta/
2 D .145 Ta/.70 Ta/ )
) 12 100 220Ta C T
2
a D 10 150 215Ta C T
2
a )
) 5Ta D 1 950 ) Ta D 390:
La temperatura
Explicación paso a paso: