Question

URGE! AYUDA! GEOMETRÍA ANALÍTICA!
Necesito un ejemplo sobre ecuación general y su comprobación .
el tema es circunferencia.

Deberá estar bien explicado.

Valor: 50 puntos

Answer 1

¡Buenas!

Se llama circunferencia al conjunto de puntos del plano que se encuentra a una distancia constante (radio) de un punto fijo (centro) de ese plano.

Elijamos entonces, un Centro cualquiera de coordenadas $\textrm{(h; k)}$ y un punto genérico $\textrm{(x; y)}$, tal que la distancia entre estos dos puntos sea de longitud $\textrm{r}$. entonces la unión de todos los puntos en dicho plano que cumplan tal condición tendrá forma de una circunferencia.

Haciendo uso de la fórmula de distancia entre dos puntos obtenemos.

$\sqrt{(x-h)^{2}+(y-k)^{2}} = r \\ \\ (x-h)^{2}+(y-k)^{2} = r^{2} \\ \\ \textrm{Importante} \\ \\ \textrm{"r" debe ser mayor que cero para que exista dicha circunferencia} \\ \\ \boxed{r>0}$

Desarrollando la ecuación, obtenemos la ecuación general de la circunferencia, la cual viene dado por:

$x^{2} + y^{2} + \textrm{A}x + \textrm{B}x + \textrm{C} = 0$

$\textrm{A} = -2h \\ \\ \textrm{B} = -2k \\ \\ \textrm{C} = h^{2} + k^{2} - r^{2}$

y el par ordenado del centro de la Circunferencia viene a ser:

$\textrm{Par ordenado del Centro de la Circunferencia} = (h;\ k) = ( \dfrac{\textrm{-A}}{2} ;\ \dfrac{\textrm{-B}}{2} )$

$\textrm{Importante} \\ \\ \textrm{Si:}\ D^{2}+E^{2}-4F > 0$

$\textrm{entonces}\ r > 0,\ \textrm{y la ecuaci\'on representar\'a a una} \\ \textrm{circunferencia de centro y radios dados.}$

Una vez explicado el tema de ecuación general de la circunferencia, vamos a formular varios ejercicios con su respectiva solución.

Ejercicio 1

La ecuación  $x^{2}+y^{2}-2x-4y+4 = 0$ , corresponde a una circunferencia. Hallar el centro y el radio.

RESOLUCIÓN

Completando cuadrados podemos transformar la ecuación dada en la forma:

$(x^{2}-2x+1)+(y^{2}-4y+4)-1=0 \\ \\ (x-1)^{2}+(y-2)^{2} = 1 \\ \\ \textrm{Luego:} \\ \\ \textrm{Centro}\ (1;2) \\ \\ \textrm{radio} = 1$

Observemos que hemos utilizado un método diferente para hallar los datos  que nos piden, en vez de recurrir a la formulas.

Ejercicio 2

La ecuación  $x^{2}+y^{2}+4x+2y+1 = 0$ , representa o no a una circunferencia.

RESOLUCIÓN

Si la ecuación representa a una circunferencia, se debe cumplir:

$D^{2}+E^{2} -4F > 0$

Reemplazamos valores:

$4^{2}+2^{2}-4(1)>0 \\ \\ 16 > 0$

Efectivamente se cumple.

$\textrm{El radio:}\ \ r = \dfrac{1}{2} \sqrt{16}\ \to\ r = 2 \\ \\ \textrm{Centro:}\ ( \dfrac{-4}{2} ; \dfrac{2}{2} )\ \to\ (-2; -1)$

Ejercicio 3

Determinar el centro y el radio de la circunferencia de ecuación:

$4x^{2}+4y^{2}-12x+16y+9=0$

RESOLUCIÓN

Llevemos la ecuación dada a la forma ordinario, dividiendo entre 4:

$x^{2}+y^{2}-3x+4y+ \dfrac{9}{4} = 0$

Completando cuadrados:

$(x- \dfrac{3}{2} )^{2} - \dfrac{9}{4} + (y+2)^{2} -4 + \dfrac{9}{4} = 0$

Simplificando:

$(x- \dfrac{3}{2} )^{2} + (y+2)^{2} = 4$

Por lo tanto tenemos el centro y el radio:

$\textrm{Centro}\ ( \dfrac{3}{2} ; -2) \\ \\ \textrm{radio} = 2$

EXTRA

En la resolución de los ejercicios se habla acerca de completar cuadrados, vamos a hablar de esto con más detalle.

Digamos que tenemos la siguiente expresión y nos pide completar cuadrados sin alterar la expresión:

$x^{2}+2x$

Para completar cuadrados se hace lo siguiente:

$\textrm{Sumamos "1" y restamos "1" para no alterar la expresi\'on} \\ \\ x^{2}+2x +1 -1$

$\textrm{Nos percatamos que la expresi\'on}\ x^{2}+2x +1\ \textrm{es conocida} \\ \\ \boxed{x^{2}+2x+1 = (x+1)^{2}}$

$\textrm{Entonces la expresi\'on queda de esta forma} \\ \\ (x+1)^{2}-1$

De esta manera hemos completado cuadrados, es un método muy útil para resolver ejercicios de Cónicas, factorización o ecuaciones.