Question

Unos ingenieros de tránsito están diseñando un tramo de carretera que
conectará una calzada horizontal con una que tiene una pendiente del
20% (es decir, pendiente 1/5).
La transición suave debe tener lugar sobre
una distancia horizontal de 800 pies, con una pieza parabólica de
carretera empleada para conectar los puntos A y B. Si la ecuación del
segmento parabólico es de la forma: y = ax2 + bx + c, se puede demostrar que la pendiente de la recta tangente en el punto P(x, y) sobre la parábola
está dada por m = 2ax + b.
a) Encuentre una ecuación de la parábola que tiene una recta tangente
de pendiente 0 en A y 15 en B.
b) Encuentre las coordenadas de B

Answer 1

La parábola con rectas tangentes de pendientes 0 y 1/5 en A y B es $y=0,000125x^2$. Las coordenadas del punto B son (800ft, 80ft).

¿Cómo hallar la parábola con las pendientes impuestas?

Podemos tomar el punto A como x=0 y el punto B como x=800ft. Si en el punto A, la pendiente de la recta tangente tiene que ser 0, tenemos:

$x=0= > 2a.0+b=0\\\\b=0$

Entonces tenemos que el término lineal tiene que ser nulo. Ahora, si la pendiente en B tiene que ser 1/5 para conectar con el tramo que tiene esa misma pendiente queda:

$2a.800ft=\frac{1}{5}\\\\a=\frac{1}{5.2.800ft}=0,000125$

Como la altura del punto A (x=0) es 0, entonces queda para el término independiente:

$0,000125.0^2+c=0\\\\c=0$

Y la parábola que cumple con el cometido es $y=0,000125x^2$.

¿Cuáles son las coordenadas del punto B?

Sabiendo que el punto B es tal que x=800ft, la ordenada del mismo punto es el valor de la función hallada para ese valor de 'x':

$y=0,000125.(800ft)^2=80ft$

Aprende más sobre funciones cuadráticas (cuyos gráficos son parábolas) en https://brainly.lat/tarea/12060315