Question

uno de los últimos puentes de cuerda inca se encuentra en keshwa chaca. la forma de los cables del puente colgante se puede describir con la función cuadrática f(x)=3/400x2+30 tal que x [-20;20]​

Answer 1

El recorrido de la función será en este caso [30;33]

El enunciado dice lo siguiente:

Uno de los últimos puentes de cuerda inca se encuentra en Keshwa Chaca. La forma de los cables del puente colgante se puede describir con la función cuadrática: $f(x)= \frac{3}{400} x^2+30$  tal que x ∈ [-20;20] . Calcule el recorrido de la función  

Procedimiento:

$\boxed{ \bold{ f(x)= \frac{3}{400} x^{2} +30}}$

Tal que x ∈ [-20,20]

Sabemos que la función dada es cuadrática con a > 0 por lo que su imagen tendrá la forma [yv, ∞).  

Debido a que está acotada para:  x∈ [-20,20] y además es creciente, el rango estará dado desde la yv del vértice, hasta el mayor de sus extremos.  

Dada la función:

$\boxed{ \bold{ f(x)= \frac{3}{400} x^{2} +30}}$

Donde a = 3/400, b =0 y c = 30

Paso 1: Hallar la Y del vértice

Vértice de la parábola

$\boxed { \bold { (x_v ,y_v )= \left(-\frac{b}{2a} , \textit \textbf {f}\left(-\frac{b}{2a}\right )\right )}}$

$\boxed {\bold { (x_v )= \left(-\frac{b}{2a} \right ) }}$

$\boxed { \bold { (x_v )= \left(\frac{-0}{ 2 \dfrac{3}{400}}\right )}}$      

$\boxed {\bold { (x_v )= 0}}$

$\boxed {\bold { (y_v )=f \left(-\frac{b}{2a} \right ) }}$

$\boxed {\bold {( y_v)= \dfrac{3}{400}\left(\dfrac{-0}{2 \left( \dfrac{3}{400} \right )} \right )+30 }}$

$\boxed{ \bold { (y_v )=0+ 30}}$

$\boxed{ \bold { (y_v )= 30}}$

$\boxed {\bold { (x_v ,y_v )= (0 ,30)}}$

Paso 2: Evaluar la función en los extremos del dominio

Para encontrar el extremo superior de la imagen o recorrido debemos evaluar la función en los extremos del intervalo en los que está definida para posteriormente seleccionar el mayor valor.

- Evaluando en -20

$\boxed {\bold{ f(-20)=\frac{3}{400} (-20)^2+30}}$

$\boxed {\bold{ f(-20)=\frac{3}{400} (400)+30}}$

$\boxed {\bold { f(-20)=33}}$

- Evaluando en +20

$\boxed {\bold{ f(20)=\frac{3}{400} (20)^2+30}}$

$\boxed {\bold{ f(20)=\frac{3}{400} (400)+30}}$

$\boxed {\bold { f(20)=33}}$

Concluyendo que como ambos valores son iguales, el intervalo es simétrico, y tomamos el límite superior como 33

Paso 3: Seleccionar el mayor valor de la función evaluada en los extremos y escribir la imagen

Una vez calculados los extremos y la yv

Podemos plantear el recorrido de la función como:

[30;33]