Una viga de madera tiene sección rectangular de dimensiones l; h. Su resistencia S es directamente proporcional al cuadrado de su altura, h; y a su ancho, l: ¿Cuáles son las dimensiones de la viga más resistente que se puede cortar de un tronco de 60cm de diámetro?
Respuestas a la pregunta
La función a maximizar es S = k h² l
Debemos expresar S en función de una sola variable.
Se observa lo siguiente: 60² = h² + l²
De modo que h² = 60² - l²; reemplazamos.
S = k (3600 - l²) l = k (3600 l - l³)
Una función es máxima en los puntos en que su primera derivada es nula y la segunda es negativa en dichos puntos.
S' = k (3600 - 3 l²)
S'' = k (- 3 l). Dado que k y l son positivos, S'' es negativa.
k (3600 - 3 l²) = 0; resulta l = √1200 = 20 √3 cm ≅ 34,6 cm
h = √(3600 - 1200) = √2400 = 20 √6 cm ≅ 48 cm
h = 48 cm; l = 34,6 cm
Para una sección rectangular k = 1/6
La máxima resistencia es 1/6 . 48² . 34,6 ≅ 13860 cm³
Se adjunta gráfico de la resistencia, con su valor máximo.
Mateo
Las dimensiones de la viga deben ser l = 10√3 cm y h = 10√6 cm
Como la resitencia es directamente proporcional al cuadrado de la altura y su ancho entonces:
S = h²*l
Si se quiere cortar una viga de 60 cm de diámetro entonces tiene 30 cm de radio, por lo tanto
(30 cm)² = h² + l²
900 = h² + l²
h² = 900 - l²
S = (900 - l²)*l
S = (900l - l³)
Derivamos e igualamos a cero:
S' = (900 - 3l²) = 0
900 - 3l² = 0
3l² = 900
l² = 900/3
l² = 300
l = ±√300
Como l debe ser positivo l = √300 = 10√3
La segunda derivada es:
S'' = -6l
Evaluada en el punto:
S'' = -6*10√3 = -60√3 que es negativo por lo tanto tenemos un máximo
Las dimensiones son:
l = 10√3
h² = 900 - (10√3)² = 900 - 300 = 600
h = √600 = 10√6
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