Question

Una varilla metálica delgada y uniforme con masa M pivota sin fricción sobre un eje que pasa por su punto medio y es perpendicular a la varilla. Un resorte horizontal con constante elástica k se conecta al extremo inferior de la varilla, mientras que su otro extremo se fija a la pared. La varilla se desplaza un ángulo pequeño θ respecto a la vertical y se suelta.
Demostrar que se mueve con un movimiento armónico simple y calcule el periodo del movimiento para pequeñas oscilaciones.

Answer 1

RESPUESTA:

Estamos en presencia de un movimiento armónico simple.

Ahora, para hacer esta demostración se recomienda realizar sumatoria de momentos, para ello aplicaremos dos casos:

1. La barra no perturbada
2. La perturbada.

Para esto tengamos que x₁ es la distancia del resorte no perturbada y x₂ es la extensión del resorte.

1- Realizamos la sumatoria de momento en el extremo de la barra, donde el momento es cero.

M·g = 2·K·x₁             (1)

2- Realizamos sumatoria de momento con la barra deformada o perturbada, justamente en el punto donde pivotea la barra. Al existir una perbutación existe aceleración angular.

-M·g·Cos(θ)·L/2 + k·(x₁ + x₂)Cos(θ)·L = -I·α                  (2)

Ahora, sustituimos la ecuación 1 en la 2, tenemos:

-2·K·x₁·Cos(θ)·L/2 + K·(x₁+x₂)·Cos(θ)·L = -I·α  

Simplificamos:

-2·K·x₁·Cos(θ)·L/2 + K·x₁·Cos(θ)·L + K·x₂·Cos(θ)·L = -I·α  

Simplificamos y tenemos que:

K·x₂·Cos(θ)·L = -I·α            (3)

Ahora, sabemos que para una barra el momento de inercia viene dado como:

I = (1/3) · M·L²

Sustituimos en la ecuación 3 y tenemos:

K·x₂·Cos(θ)·L = -(1/3) · M·L²·α    

Ahora, despejamos la aceleración angular, tenemos:

-3·K·x₂·Cos(θ)/M·L  = α  

Ahora, si observamos la barra esta inclinada, por tanto la deformación x₂ se puede expresar como:

Senθ = x₂/L

x₂ = L·Senθ

Sustituimos y tenemos que:

-3·K·L·Sen(θ)·Cos(θ)/M·L  = α  

Simplificamos y tenemos que:

-3·K·Sen(θ)·Cos(θ)/M = α  

Ahora, tenemos dos consideraciones:

1. El ángulo es muy pequeño por tanto θ≈ 0 y si esto es así entonces Cos(0) = 1
2. Si θ≈ 0 entonces el Sen(θ) ≈ θ

Tomando estas dos consideraciones tenemos que:

(-3·K/M)·θ = α  

Demostrando entonces el comportamiento armónico simple en donde se debe tener la estructura ω²·θ = α , que es lo que conseguimos.

Ahora, buscamos el periodo, sabemos que el periodo tiene la siguiente forma:

T = 2π/ω

Pero ya sabemos quien es ω, es decir:

ω = √(-3·K/M)

Sustituimos y tenemos que el periodo será:

T = 2π·√M/√(-3K)

Y este sería el periodo para ángulos muy pequeños debido a nuestras condiciones.