Question

Una varilla aislante con carga uniforme con una longitud de 14.0 cm se dobla en forma de semicírculo, como se muestra en la figura P25.44. La varilla tiene una carga total de -7.50 uC. Determine el potencial eléctrico en 0, el centro del semicírculo.

Answer 1

Para determinar el potencial (el cual hemos de demostrar que es -1,51MV) producido por la varilla doblada en semicírculo en su centro, vamos a empezar recordando el potencial dado por la ley de Coulomb para cargas puntuales.

$V=k\frac{q}{r}$

Donde q es la carga, r la distancia hacia el punto donde se calcula potencial y $k=9x10^9\frac{Nm^2}{C^2}$ la constante de Coulomb.

En la varilla voy a definir la densidad lineal de carga $\lambda$ que es la carga por unidad de longitud:

$\lambda=\frac{Q}{l}$

Donde Q es la carga y l la longitud. Así un elemento diferencial de carga es:

$dq=\lambda dl$

Tomado en términos de desplazamiento angular para poder recorrer la varilla:

$dq=\lambda rd\theta$

Donde r es la distancia del punto a la carga (como el punto bajo estudio es en el centro, es igual en todo punto de la varilla y coincide con el radio) y $\theta$ el desplazamiento angular en radianes.

Y un diferencial de potencial:

$dV=k\frac{dq}{r} =k\frac{\lambda rd\theta}{r}$.

Entonces el potencial queda:

$V=\int\limits^{}_L  dV =\int\limits^\pi _0 {k\frac{\lambda r}{r}} \, d\theta$

Porque al ser una semicircunferencia, el desplazamiento angular total es $\pi$, queda:

$V=\int\limits^\pi _0 {k\frac{\lambda r}{r}} \, d\theta=k\lambda\int\limits^\pi _0 d\theta=\pi .k\lambda=\pi .k\frac{Q}{l}=9x10^9\frac{Nm^2}{C^2}.\pi .\frac{-7,5x10^{-6}C}{0,14m}=-1,51MV$

Entonces llegamos a que el potencial en el centro de la semicircunferencia es -1,51MV.