Question

Una urna A contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10 y otra caja B contiene 20 bolas numeradas del 1 al 20. Si al lanzar un dado cae una cara conti o 2 puntos, se elige la caja A y de ella se saca una bola al azar. Si la cara del dado que sale no es la de 1 o 2 puntos, se elige la caja B y de ella se saca una bola al azar. Al realizar el experimento se obtuvo una bola que es múltiplo de 3. ¿Cuál es la probabilidad de que el dado haya caído con la cara 1 0 2
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Answer 1

Respuesta:

1/3.

Explicación:

Sean A el evento "el dado cae una 1 o 2 puntos" y B el evento "Sacar una bola cuyo número es múltiplo de 3". Se piede hallar P(A/B). Pero por definicióm de propbabilidad condicionada, P(A/B)=P(A∩B)/P(B) y P(B/A)=P(A∩B)/P(A), entoces P(A/B)=(P(B/A)P(A))/P(B). Por otra parte, por el teorema de la probabilidad total, P(B)=P(B/A)P(A)+P(B/A')P(A'). En resumen, P(A/B)=(P(B/A)P(A))/P(B) y P(B)=P(B/A)P(A)+P(B/A')P(A'), entonces

P(A/B)=(P(B/A)P(A))/(P(B/A)P(A)+P(B/A')P(A')). Pero:

P(B/A)=3/10. Ya que si se sale 1 o 2 al tirar el dado se elige la urna A y en ella hay 10 bolas numeradas del 1 al 10, de las cuales solo 3 tendrían números múltiplos de 3, en efecto, las bolas numeradas con 3, 6 y, 9.

P(A)=1/3. Ya que la probabilidad de que salga en el dado 1 o 2 es igual a la suma de la probabilidaf de que salga 1 (1/6) más la probabilidad de que salga 2 (1/6) ya que no puede salir simultánemente 1 y 2.

P(B/A')=3/10. Ya que si al tirar el dado no sale ni 1, ni 2, se elige la urna B y en ella hay 20 bolas nuneradas del 1 al 20 y de ellas hay 6 numeradas con múltiplos de 3, a saber, las bolas numeradas con 3, 6, 9, 12, 15, 18.

P(A')=2/3. Ya que por propiedades de la función de probabilidad, P(A')=1-P(A) y se sabe que P(A)=1/3.

Por lo tanto, P(A/B)=((3/10)×(1/3))/(((3/10)×(1/3))+((3/10)×(2/3)))=1/3.