Question

Una tintorería afirma que un nuevo removedor
de manchas quitará más de 70% de las manchas en las
que se aplique. Para verificar esta afirmación el removedor
de manchas se utilizará sobre 12 manchas elegidas
al azar. Si se eliminan menos de 11 de las manchas,
no se rechazará la hipótesis nula de que p = 0.7; de otra
manera, concluiremos que p > 0.7.
a) Evalúe α, suponiendo que p = 0.7.
b) Evalúe β para la alternativa p = 0.9.

Answer 1

La probabilidad de cometer error tipo 1 es $\alpha=0,015$ y la de cometer error tipo 2 es $\beta=0,6915$

Explicación:

Si se afirma que el removedor quita el 70% de las manchas, se puede decir que la media de la cantidad de manchas al probarlo en 12 manchas es:

$\mu=0,7.12=8,4$

Y su desvío estándar se puede determinar como sigue, ya que como máximo se pueden eliminar 12 manchas:

$\mu+3\sigma=12\\\sigma=\frac{12-\mu}{3}=\frac{12-8,4}{3}=1,2$

Si se eliminan menos de 11 manchas, no se rechaza la hipótesis nula. El valor de z para X=11 es:

$z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{11-8,4}{1,2}=2,17$

Lo que nos da una probabilidad de eliminar menos de 11 manchas de 0,9850. Y la probabilidad de eliminar 11 o 12 manchas es 1-0,985=0,015. Esta es la probabilidad de cometer el error tipo 1 (rechazar la hipótesis nula siendo esta verdadera), por lo tanto es $\alpha=0,015$.

Si ahora se propone como alternativa p=0,9, la media es:

$\mu=0,9.12=10,8$

Y el desvío estándar (porque más de 12 manchas no se puede eliminar si hay 12) es:

$\mu+3\sigma=12\\\sigma=\frac{12-\mu}{3}=\frac{12-10,8}{3}=0,4$

Si se eliminan menos de 11 manchas se acepta la hipótesis nula, por lo que si se teoriza que la media es 0,9, la probabilidad de eliminar menos de 11 manchas es:

$z=\frac{11-10,8}{0,4}=0,5\\\\P(X<11)=0,6915$

Entonces, la probabilidad de aceptar la hipótesis nula cuando la hipótesis correcta es en realidad la alternativa p=0,9 (error tipo 2), es 0,6915, y queda $\beta=0,6915$