Una tienda ha estado vendiendo 200 reproductores de discos Blu-ray por semana a $350 cada uno. Un estudio de mercado indica que por cada $10 de descuento ofrecido a los compradores, el número de unidades vendidas se incrementara en 20 a la semana. Encuentre la función demanda y la función ingreso. ¿Qué tan grande debe ser el descuento que ofrezca la tienda para maximizar sus ingresos?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
125 dolares de descuento para maximizar sus ingresos.
Explicación paso a paso:
Si x denota las reproductoras vendidas la semana, entonces el incremento semanal en las ventas es de x-200. Por cada incremento de 20 reproductores vendidos, el precio disminuye 10 dólares. De modo que por cada reproductor adicional vendido, la disminución en el precio es 1/20 * 10 y la función de la demanda es:
p(x) = 350 – 10/20 (x-200) = 450 – 1/2 x
La función de ingreso es:
R(x) = xp (x) = 450x – ½ x^2
Como R’(x) = 450 – x, vemos que R’ (x) = 0 cuando x = 450. Por la prueba de la primera de la derivada (o sencillamente al observar que la gráfica de R es una parábola que se abre hacia abajo), éste valor de x da un máximo absoluto. El precio correspondiente es:
p (450) = 450 – ½ (450) = 225
Y el descuento es de 350 – 225 = 125. Por lo tanto, para maximizar el ingreso de la tienda debe ofrecer un descuento de 125 dólares.
El descuento para obtener un ingreso máximo es igual a $225
Tenemos que se han vendido 200 reproductores a $350 cada uno, luego si se realiza un descuento de $10 entonces se incrementa a 20 unidades, por lo tanto si se descuentan "x" veces descuentos de $10, tenemos que el precio es:
1. P = $350 - $10*x
($350 - p)/$10 = x
La cantidad de artículos vendidos es:
q = 200 + 20*x
q = 200 + 20*(350 - p)/10
q = 200 +700 - 2p (función de demanda)
Luego los ingresos son los precio por la cantidad de unidades vendidas:
(200 + 20*x)*($350 - $10*x)
= $70000 + $2000*x + $7000*x - $200x²
= - $200x² + $9000x + $70000
Derivamos e igualamos a cero (como es cuadrática con coeficiente cuadrático negativo) entonces este es el máximo
- $400x + $9000 = 0
$400x = $9000
x = $9000/$400
x = 22.5
El descuento debe ser de $10*22.5 = $225
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