Una sustancia radiactiva se desintegra de acuerdo a la fórmula r(t) = c e-7 t dondec es una constante. ¿En cuánto tiempo habrá exactamente un tercio de la cantidad inicial?.
Respuestas a la pregunta
Tomando logaritmo natural en ambos miembros:
ln(1) - ln(3) = -7t
y despejando t: [teniendo en cuenta que el ln (1) = 0]
t= ln(3)/7
t= 0.156 seg. (suponiendo que t es en segundos)
Se puede hacer la comprobación:
ce^(-7x0.156) = c x 0.33 (es decir un tercio de nuestra cantidad inicial en r(0) que era c)
En aproximadamente 0,157 unidades de tiempo se tendrá un tercio de la cantidad inicial de sustancia radiactiva.
Explicación:
Si r(t) es la cantidad de sustancia radioactiva, en unidades de masa (um), en el tiempo t, en unidades de tiempo (ut), y c es una constante, el modelo matemático es:
Este es un modelo exponencial de decrecimiento o decaimiento radiactivo, como los que se ejemplifican en la gráfica anexa.
Vamos a sustituir los datos aportados y responder la interrogante:
¿En cuánto tiempo habrá exactamente un tercio de la cantidad inicial?
Inicialmente hay una cantidad de sustancia desconocida, pero sabemos que el tiempo es cero:
El modelo matemático de simulación de la cantidad de sustancia radiactiva en el tiempo es:
Se quiere el tiempo t en que r (t) = (1/3) r(0):
Aplicando propiedades de logaritmos y exponenciales, se toma logaritmo natural a ambos lados para despejar t:
En aproximadamente 0,157 unidades de tiempo se tendrá un tercio de la cantidad inicial de sustancia radiactiva.
Pregunta relacionada:
Modelo exponencial de decaimiento brainly.lat/tarea/14078714
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(porque e^(-7x0) es igual a 1)
Necesitamos saber en que tiempo tendremos 1/3 de r(0)
Pero r(0) = c, de modo que podemos poner
1/3 c = ce^(-7t)
Eliminando c de los dos miembros de la ecuación, queda:
1/3 = e^(-7t)