Una sustancia es retirada de un horno y llevada a un área de enfriamiento que mantiene una temperatura estable de 43°C, a los 15 y 30 minutos después de haberse iniciado el enfriamiento se realizaron dos registros de temperatura, que arrojaron como resultado 285°C y 252 °C, respectivamente. Determinar:
a) La temperatura inicial de la sustancia.
b) En que instante la temperatura del cuerpo es de 80 °C
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
T_0 = 323.21 ºC
t = 207,23 min
Tiene sentido que T_0 sea más alta que T(15) y T (30) pues, en t = 0, acaba de entrar en el área de enfriamiento.
Explicación paso a paso:
Para calcular dicho problema tendrás que tener en cuenta la Ley de Enfriamiento de Newton que, una vez resuelta la ecuación diferencial, queda así:
T (t) = T_m + (T_0 + T_m)e^(k*t)
Donde T_m es la temperatura del medio, T_0 la temperatura inicial de la sustancia, k una constante (diferente para cada problema) y t el tiempo.
Como te dicen que la temperatura del área de enfriamiento es 43ºC, entonces T_m = 43ºC. Por otro lado, te dan los datos a los 15 y 30 minutos, con ellos los sustituyes en la expresión de Newton y resuelves el sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (k y T_0). Una vez definida la ecuación de temperatura para esa sustancia, es decir, una vez obtenidos k y T_0 e introducirlos en la expresión, sabrás la temperatura de la sustancia en cualquier momento. En este caso, te piden el tiempo para una determindad temperatura, osea, la incógnita ahora es el tiempo.
La temperatura inicial de esta sustancia es de To = 323.21°C
El tiempo cuando la sustancia alcanza los 80°C es de t = 3.45 horas
Para resolver este problema usamos la ecuación de la ley de enfriamiento de newton
T = Tm + (To - Tm)e^(-kt)
- To : Temperatura inicial
- Tm : Temperatura ambiente
Para los dos casos dados
- 15 minutos = 0.25h y 285°C
285°C = 43°C + (To - 43°C)e^(-0.25k)
(To - 43°C) = 242°C/e^(-0.25k)
- 30minutos = 0.5oras y 252°C
252°C = 43°C + (To - 43°C)e^(-0.5k)
(To - 43°C) = 209°/Ce^(-0.5k)
igualamos
242°C/e^(-0.25k) = 209°/Ce^(-0.5k)
242/209 = e^(-0.25k + 0.5k)
e^(0.25k) = 22/19
0.25k = Ln(922/19)
k = 0.58641
285°C = 43°C + (To - 43°C)e^(-0.25*0.58641)
To = 323.21°C
Tiempo para cuando T = 80°C
80°C = 43°C + (323.21°C - 43°C)e^(-t*0.58641)
e^(-t*0.58641) = ln[(80-43)/323.21-43]
t = 3.45 horas
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