Question

Una soprano y un bajo están cantando a dueto. Mientras la soprano canta un la sostenido a 932 Hz, el bajo canta un la sostenido, pero tres octavas más abajo(1/8 de frecuencia del soprano). En esta sala de conciertos, la densidad del aire es de 1.2 kg/m^3 y su módulo de volumen es de1.42 x 10^5 Pa. . Para que sus notas tengan el mismo nivel de intensidad de sonido, ¿cuál debe ser
a) la razón entre las amplitudes de desplazamiento del bajo y de la soprano
b) la razón entre las amplitudes de presion del bajo y de la soprano?

Answer 1

La amplitud de desplazamiento del bajo tiene que ser 8 veces mayor a la de la soprano y la amplitud de presión tiene que ser igual para ambos artistas, para que la intensidad del sonido sea la misma para ambos.

Explicación:

a) La expresión de la intensidad de la onda sonora, en función de la amplitud de desplazamiento, es:

$I=\frac{1}{2}\rho.v.w^2.s_m^2$

Donde $\rho$ es la densidad del fluido, v la velocidad de la onda y w la pulsación angular, si la frecuencia del soprano es 8 veces superior a la del bajo queda:

$\frac{1}{2}\rho.v.w_s^2.s_{ms}^2=\frac{1}{2}\rho.v.w_b^2.s_{mb}^2\\\\w_s^2.s_{ms}^2=w_b^2.s_{mb}^2\\\\w=2\pi.\nu=>(2\pi.\nu_s)^2.s_{ms}^2=(2\pi.\nu_b)^2.s_{mb}^2\\\\\nu_s^2.s_{ms}^2=\nu_b^2.s_{mb}^2\\\\\frac{\nu_s^2}{\nu_b^2}=\frac{s_{mb}^2}{s_{ms}^2}\\\\(\frac{\nu_s}{\nu_b})^2=(\frac{s_{mb}}{s_{ms}})^2\\\\\frac{s_{mb}}{s_{ms}}=8$

Con lo cual la amplitud de desplazamiento del bajo tiene que ser 8 veces mayor a la de la soprano.

b) La expresión de la intensidad de la onda sonora, en función de la amplitud de presión es:

$I=\frac{\Delta Pm^2}{2\rho.v}$

Donde es $\Delta Pm$ la amplitud de presión, $\rho$, la densidad del fluido y $\nu$ la velocidad de propagación de la onda. Si las dos ondas se propagan a la misma velocidad queda:

$\frac{\Delta Pm_s^2}{2\rho.v_s}=\frac{\Delta Pm_b^2}{2\rho.v_b}\\\\\frac{\Delta Pm_s^2}{v_s}=\frac{\Delta Pm_b^2}{v_b}\\\\v_s=v_b=>\Delta Pm_s=\Delta Pm_b$