Una rueda de esmeril gira a partir del reposo alcanzando una velocidad angular de 980 r.p.m. después de 30 s. Calcula: a) Su aceleración angular en rad/s2. b) El número de vueltas que realiza en ese tiempo.
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
a) La aceleración angular de la rueda es de 2 π radianes por segundos cuadrados para un tiempo de 20 segundos
b) La rueda realiza 200 revoluciones o vueltas para un tiempo de 20 segundos
Se trata de un problema de movimiento circular uniformemente variado
El movimiento circular uniformemente variado (MCUV) ocurre cuando una partícula o cuerpo sólido describe una trayectoria circular incrementando o disminuyendo la velocidad de forma constante en cada unidad de tiempo (t).
Donde la partícula se mueve con aceleración constante
Solución
Convertimos las velocidad angular final de revoluciones por minuto a radianes por segundo
Sabemos que la rueda de esmeril gira desde el reposo por lo tanto su velocidad angular inicial es igual a cero
Luego
\bold { \omega_{0} } \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Velocidad Angular Inicial }ω
0
Velocidad Angular Inicial
\bold { \omega_{f} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Velocidad Angular Final }ω
f
Velocidad Angular Final
\large\boxed {\bold { \omega_{0}= 0 \ \frac{rad}{s} }}
ω
0
=0
s
rad
La velocidad angular inicial es de 0 radianes por segundo
Sabiendo que una circunferencia completa equivale a 2π radianes
Y que en 1 minuto se tienen 60 segundos
\boxed {\bold { \omega_{f} = 1200 \ \frac{\not rev}{\not min} \ . \ \left(\frac{2 \ \pi }{1 \ \not rev}\right) \ . \ \left(\frac{1 \ \not min }{60 \ s}\right) = \frac{1200 \ \ 2\pi }{60} \ \frac{rad}{s} }}
ω
f
=1200
min
rev
. (
1
rev
2 π
) . (
60 s
1
min
)=
60
1200 2π
s
rad
\boxed {\bold { \omega_{f} = \frac{\not60 \ . \ 20\ \ 2 \pi }{\not60} \ \frac{rad}{s} = 40 \ \pi \ \frac{rad}{s} }}
ω
f
=
60
60 . 20 2π
s
rad
=40 π
s
rad
\large\boxed {\bold { \omega_{f} =40 \ \pi \ \frac{rad}{s} }}
ω
f
=40 π
s
rad
a) Hallamos la aceleración angular para un tiempo de 20 segundos
Empleamos la siguiente ecuación
\large\boxed{\bold{\alpha=\dfrac{\omega_{f} -\omega_0}{t}}}
α=
t
ω
f
−ω
0
Donde
\bold { \alpha } \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Aceleraci\'on }α Aceleraci
o
ˊ
n
\bold { \omega_{0} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Velocidad Angular Inicial }ω
0
Velocidad Angular Inicial
\bold { \omega_{f} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Velocidad Angular Final }ω
f
Velocidad Angular Final
\bold { t }\ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Tiempo transcurrido}t Tiempo transcurrido
\large\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }Reemplazamos valores y resolvemos
\boxed{\bold{\alpha =\dfrac{ 40 \ \pi \ \frac{rad}{s} -\ 0 \ \frac{rad}{s} }{ 20 \ s } }}
α=
20 s
40 π
s
rad
− 0
s
rad
\boxed{\bold{\alpha =\dfrac{ 40 \ \pi \ \frac{rad}{s} }{ 20 \ s } }}
α=
20 s
40 π
s
rad
\boxed{\bold{\alpha =\dfrac{ \not20 \ . \ 2 \ \pi \ \frac{rad}{s} }{ \not 20 \ s } }}
α=
20 s
20 . 2 π
s
rad
\large\boxed{\bold{\alpha =2\ \pi \ \frac{rad}{s^{2} } }}
α=2 π
s
2
rad
La aceleración angular de la rueda es de 2 π radianes por segundos cuadrados para un tiempo de 20 segundos
b) Hallamos el número de vueltas que realiza la rueda para un tiempo de 20 segundos
Determinamos el desplazamiento angular
Empleando la ecuación:
\large\boxed {\bold { \theta = \omega_{0} \ . \ t+ \frac{1}{2}\ \alpha \ t^{2} }}
θ=ω
0
. t+
2
1
α t
2
Donde
\large\textsf{Desplazamiento angular } \ \ \ \bold { \theta }Desplazamiento angular θ
\large\textsf{Velocidad angular inicial } \ \ \ \bold { \omega_{0} = 0 }Velocidad angular inicial ω
0
=0
\large\textsf{Aceleraci\'on } \ \ \ \bold { \alpha = 2 \ \pi \ rad/s^{2} }Aceleraci
o
ˊ
n α=2 π rad/s
2
\large\textsf{Tiempo } \ \ \ \bold { t = 20\ s }Tiempo t=20 s
Como la rueda parte del reposo su velocidad angular inicial es igual a cero \bold { \omega_{0} = 0 }ω
0
=0
\large\boxed {\bold { \theta = \omega_{0} \ . \ t+ \frac{1}{2}\ \alpha \ t^{2} }}
θ=ω
0
. t+
2
1
α t
2
La ecuación se reduce a:
\large\boxed {\bold { \theta = \frac{1}{2}\ \alpha \ t^{2} }}
θ=
2
1
α t
2
\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }Reemplazamos y resolvemos
Tomando un tiempo de 20 segundos
\boxed {\bold { \theta = \frac{1}{2} \ 2 \ \pi \ \frac{rad}{s^{2} } \ . \ (20 \ s) ^{2} }}
θ=
2
1
2 π
s
2
rad
. (20 s)
2
\boxed {\bold { \theta = \frac{1}{2} \ 2 \ \pi \ \frac{rad}{\not s^{2} } \ . \ 400 \not s ^{2} }}
θ=
2
1
2 π
s
2
rad
. 400
s
2
\boxed {\bold { \theta = \frac{2 \ \pi \ . \ 400}{2} \ rad }}
θ=
2
2 π . 400
rad
\boxed {\bold { \theta = \frac{\not2 \ \pi \ . \ 400}{\not2} \ rad }}
θ=
2
2 π . 400
rad
\large\boxed {\bold { \theta = 400 \ \pi \ rad }}
θ=400 π rad
Determinamos la cantidad de revoluciones
Convertimos los radianes hallados en el inciso anterior a revoluciones
Dado que una circunferencia equivale a 2π radianes
\boxed {\bold { Cantidad \ Revoluciones = \frac{400 \ \pi \ rad }{2 \ \pi \ rad } }}
Cantidad Revoluciones=
2 π rad
400 π rad
\boxed {\bold { Cantidad \ Revoluciones = \frac{\not2 \ . \ 200 \ \not\pi \not rad }{\not2 \ \not \pi \not rad } }}
Cantidad Revoluciones=
2
π
rad
2 . 200
π
rad
\large\boxed {\bold { Cantidad \ Revoluciones = 200 }}
Cantidad Revoluciones=200
La cantidad de revoluciones o vueltas que realiza la rueda para ese instante de tiempo es de 200