Question

una recta tangente en "B" a la circunferencia circunscrita al triangulo ABC, es paralela a la bisectriz interior CD ("D" en AB) hallar AC; si AD=5 y BD=4

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Circunferencia

$\textbf{Problema :}$

una recta tangente en $\textrm{B}$ a la circunferencia circunscrita al triángulo $\bigtriangleup \textrm{ABC}$, es paralela a la bisectriz interior $\overline{\textrm{CD}}$ ($\textrm{D}$ en $\overline{\textrm{AB}}$) hallar $\textrm{AC}$; si $\textrm{AD} = 5$ y $\textrm{BD} = 4$.

RESOLUCIÓN

Esbozamos nuestro triángulo $\bigtriangleup \textrm{ABC}$ con las características pedidas, notemos que al ser $\overline{\textrm{CD}}$ y la recta tangente a la circunferencia que pasa por $\textrm{B}$ paralelas, entonces la medida del ángulo $\angle \textrm{DCB}$ es igual a la medida del ángulo formado por el segmento $\overline{\textrm{CB}}$ y la recta tangente, aprovechemos el arco común $\widehat{\textrm{BC}}$ para decir que la medida del ángulo $\angle \textrm{BAC}$ es igual a la medida del ángulo $\angle \textrm{DCA}$, por tanto $\textrm{AD} = \textrm{DC} = 5$ y $\angle \textrm{BDC} = 2 \angle \textrm{DAC}$, tracemos ahora $\textrm{BF}$ tal que $\textrm{BF} = \textrm{FC}$, entonces $\textrm{BD} = \textrm{BF} = 4$ y además $\textrm{BF} = \textrm{FC} = 4$, se deduce fácilmente que $\textrm{DF} = 1$.

Notemos que el triángulo $\bigtriangleup \textrm{BDF}$ está determinado, entonces podemos determinar el coseno del ángulo $\angle \textrm{BDF}$, es decir, $\cos(2 \theta) = \dfrac{1}{8}$ entonces por el teorema de cosenos podemos determinar la medida del segmento $\overline{\textrm{AC}}$.

$\textrm{AC} ^{2} = \textrm{AD} ^{2} + \textrm{DC} ^{2} - 2 \cdot \textrm{AD} \cdot \textrm{DC} \cdot \cos (180 - 2 \theta) \\ \\ \textrm{AC} ^{2} = 5^{2} + 5^{2} + 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos (2 \theta) \\ \\ \textrm{AC} = 7,5$

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{La medida del segmento}\ \overline{\textrm{AC}}\ \textrm{es igual a 7,5 unidades}}$