Matemáticas, pregunta formulada por UliOve, hace 1 año

una recta tangente en "B" a la circunferencia circunscrita al triangulo ABC, es paralela a la bisectriz interior CD ("D" en AB) hallar AC; si AD=5 y BD=4

Respuestas a la pregunta

Contestado por Mainh
9

¡Buenas!

Tema: Circunferencia

\textbf{Problema :}

una recta tangente en \textrm{B} a la circunferencia circunscrita al triángulo \bigtriangleup \textrm{ABC}, es paralela a la bisectriz interior \overline{\textrm{CD}} (\textrm{D} en \overline{\textrm{AB}}) hallar \textrm{AC}; si \textrm{AD} = 5 y \textrm{BD} = 4.

RESOLUCIÓN

Esbozamos nuestro triángulo \bigtriangleup \textrm{ABC} con las características pedidas, notemos que al ser \overline{\textrm{CD}} y la recta tangente a la circunferencia que pasa por \textrm{B} paralelas, entonces la medida del ángulo \angle \textrm{DCB} es igual a la medida del ángulo formado por el segmento \overline{\textrm{CB}} y la recta tangente, aprovechemos el arco común \widehat{\textrm{BC}} para decir que la medida del ángulo \angle \textrm{BAC} es igual a la medida del ángulo \angle \textrm{DCA}, por tanto \textrm{AD} = \textrm{DC} = 5 y \angle \textrm{BDC} = 2 \angle \textrm{DAC}, tracemos ahora \textrm{BF} tal que \textrm{BF} = \textrm{FC}, entonces \textrm{BD} = \textrm{BF} = 4 y además \textrm{BF} = \textrm{FC} = 4, se deduce fácilmente que \textrm{DF} = 1.

Notemos que el triángulo \bigtriangleup \textrm{BDF} está determinado, entonces podemos determinar el coseno del ángulo \angle \textrm{BDF}, es decir, \cos(2 \theta) = \dfrac{1}{8} entonces por el teorema de cosenos podemos determinar la medida del segmento \overline{\textrm{AC}}.

\textrm{AC} ^{2} = \textrm{AD} ^{2} + \textrm{DC} ^{2} - 2 \cdot \textrm{AD} \cdot \textrm{DC} \cdot \cos (180 - 2 \theta) \\ \\ \textrm{AC} ^{2} = 5^{2} + 5^{2} + 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos (2 \theta) \\ \\ \textrm{AC} = 7,5

RESPUESTA

\boxed{\textrm{La medida del segmento}\ \overline{\textrm{AC}}\ \textrm{es igual a 7,5 unidades}}

Adjuntos:

Mainh: Nota: Otra manera de resolver el problema es aplicando el teorema de la bisectriz.
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