Question

Una recta, tangente a una circunferencia, es aquella que la interseca en un solo punto y además es perpendicular al radio de la misma en el punto de tangencia.

Sea 3x + 4y - 36 = 0 una recta tangente a la circunferencia de centro C(1, 2).

a) Calcula el radio.

b) Escribe la ecuación de la circunferencia.

c) (Opcional) Representa todo gráficamente.

Answer 1

a) El radio es de 5 unidades

b) La ecuación de la circunferencia está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-1)^2+(y-2)^2=25 }}$

c) Se adjunta representación gráfica

Solución

a) Calculamos el radio de la circunferencia

Empleando la fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta

La cual está dada por:

$\large\boxed {\bold {d = \left|\frac{A \ (x_{1}) + B \ ( y_{1} )+ C }{ \sqrt{A^{2}+B ^{2} } }\right | }}$

Donde la recta debe estar expresada en su forma general también llamada forma implícita

Siendo la forma general:

$\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}$

Y como los valores del punto  $\bold {( x_{1} ,y_{1} ) }$ se toman las traslaciones horizontal h y vertical k (h, k) que representan el centro del círculo

Siendo la recta

$\large\boxed {\bold { 3x +4y - 36 = 0 }}$

La cual ya está expresada en la forma general

Siendo el punto el centro dado

$\large\boxed {\bold { C(h,k) = C(1,2) }}$

Reemplazamos los valores de los coeficientes de la recta dada y de las coordenadas del centro en la fórmula anterior para hallar el radio

Nótese que en la fórmula se busca el valor absoluto

Por lo tanto

$\large\boxed {\bold {d = \left|\frac{A \ (h) + B \ ( k)+ C }{ \sqrt{A^{2}+B ^{2} } }\right | }}$

El radio estará expresado en unidades

$\boxed {\bold {r = \left|\frac{(3)\ . \ (1) + (4) \ . \ ( 2 )- 36 }{ \sqrt{3^{2}+ 4^{2} } }\right | }}$

$\boxed {\bold {r = \left|\frac{3 + 8- 36 }{ \sqrt{9 +16 } }\right | }}$

$\boxed {\bold {r = \left|\frac{-25 }{ \sqrt{25} }\right | }}$

$\boxed {\bold {r = \left|\frac{-25 }{ 5 }\right| }}$

$\boxed {\bold {r = \left|-\frac{25 }{ 5 }\right| }}$

$\large\boxed {\bold { r = 5 \ unidades }}$

El radio del círculo es de 5 unidades

b) Escribimos la ecuación de la circunferencia

La suma de la abscisa elevada al cuadrado más la suma de la ordenada elevada al cuadrado es igual al radio al cuadrado

La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde (h, k) son las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.

Reemplazamos en la ecuación de la circunferencia

$\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Los valores conocidos de (h, k) = C (1,2) y radio = 5

$\boxed{ \bold { (x-1)^2+(y-2)^2=5^{2} }}$

$\large\boxed{ \bold { (x-1)^2+(y-2)^2=25 }}$

Siendo la expresión la ecuación de la circunferencia