Question

Una recta pasa por el punto A(-4,3) y tiene pendiente (-1/2). ¿El punto B(-4,-3) pertenece a la recta? Fundamente.​

Answer 1

El punto B(-4,-3) no pertenece a la recta dada

Hallamos la ecuación de la recta que pasa por el punto A (-4,3) y cuya pendiente m es -1/2

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta solicitada,

Cuya forma está dada por:

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m es la pendiente. Como conocemos el punto A (-4,3) tomaremos x1 = -4 e y1 = 3

Por tanto:

$\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold {m= -\frac{1}{2} } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold { A (-4,3) }$

$\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }$

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

$\boxed {\bold { y - (3) = -\frac{1}{2} \ . \ (x - (-4) )}}$

$\boxed {\bold { y - 3 = -\frac{1}{2} \ . \ (x+4 )}}$

Reescribimos la ecuación de la recta en la forma pendiente intercepción

También llamada forma principal o explícita

Que responde a la forma:

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

Resolvemos para y

$\boxed {\bold { y - 3 = -\frac{1}{2} \ . \ (x+4 )}}$

$\boxed {\bold { y - 3 = -\frac{x}{2} - \frac{4}{2} }}$

$\boxed {\bold { y - 3 = -\frac{x}{2} - 2 }}$

$\boxed {\bold { y = -\frac{x}{2} - 2 +3 }}$

$\boxed {\bold { y = -\frac{x}{2} +1 }}$

$\large\boxed {\bold { y = -\frac{1}{2} x +1 }}$

Habiendo hallado la ecuación de la recta dada en la forma explícita

Determinamos si el punto B(-4,-3) pertenece a la recta

$\large\textsf{Se tiene el punto B con coordenadas: } \bold {B(-4,-3)\ \ \ (x,y) }$

Luego en la ecuación explícita de la recta sustituimos las coordenadas x e y del punto B en la ecuación

$\large\textsf{Si se cumple la igualdad el punto pertenece a la recta}$

$\large\textsf{Si no se cumple la igualdad el punto NO pertenece a la recta}$

Luego en:

$\large\boxed {\bold { y = -\frac{1}{2} x +1 }}$

Reemplazamos las coordenadas x e y del punto B (-4,-3)

$\boxed {\bold { -3 = -\frac{1}{2} \ . -4 +1 }}$

$\boxed {\bold { -3 = \frac{4}{2} +1 }}$

$\boxed {\bold { -3 =2 \ + 1 }}$

$\large\boxed {\bold { -3 \neq 3 }}$

Concluyendo que al no cumplirse la igualdad el punto B(-4,-3) no pertenece a la recta

Se adjunta gráfico