Una PYME desea construir un tanque para almacenar cierto solvente que requiere para
sus procesos de manufactura. El tanque requiere ser cilíndrico y cerrado con una
capacidad de 11,000 metros cúbicos. Un proveedor indica que la parte superior costará 3
dólares por metro cuadrado, en tanto que el material para fabricar el fondo y el costado
del tanque será 5 dólares por metro cuadrado. Expresa el costo total de construcción como
función del radio. Si tuvieras que tomar la decisión, ¿con qué dimensiones pedirías la
manufactura del tanque a fin de reducir su costo al mínimo? Apóyate en una gráfica para
dar una respuesta razonable a esta última pregunta.
Respuestas a la pregunta
La expresión del costo total de construcción como función del radio es
Explicación:
Si llamamos r el radio de la base y h a la altura, el volumen del cilindro viene dado por:
La función objetivo es el costo de construcción del tanque C. Este viene dado por la suma del producto del área de la parte superior y el precio del material de construcción, el producto del área lateral y el precio del material de construcción, y el área de la parte inferior y el precio del material de construcción.
Expresa el costo total de construcción como función del radio.
De la expresión auxiliar, ecuación del volumen, tomamos h en función de r y lo sustituimos en la función C:
La expresión del costo total de construcción como función del radio es
Si tuvieras que tomar la decisión, ¿con qué dimensiones pedirías la manufactura del tanque a fin de reducir su costo al mínimo? Apóyate en una gráfica para dar una respuesta razonable a esta última pregunta.
La respuesta a esta pregunta se obtiene aplicando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos, pero como se indica que se realice gráficamente, pues se anexa la gráfica de la función C:
De la gráfica podemos observar que el valor positivo más bajo de r es 6, para un costo mínimo de 2738 dólares.
Para conocer el valor de h sustituimos el valor de r en la expresión de h:
Se pediría la manufactura del tanque con un radio de 6 metros y una altura de 97 metros, a fin de reducir su costo al mínimo.