Question

Una PYME desea construir un tanque para almacenar cierto solvente que requiere para
sus procesos de manufactura. El tanque requiere ser cilíndrico y cerrado con una
capacidad de 11,000 metros cúbicos. Un proveedor indica que la parte superior costará 3
dólares por metro cuadrado, en tanto que el material para fabricar el fondo y el costado
del tanque será 5 dólares por metro cuadrado. Expresa el costo total de construcción como
función del radio. Si tuvieras que tomar la decisión, ¿con qué dimensiones pedirías la
manufactura del tanque a fin de reducir su costo al mínimo? Apóyate en una gráfica para
dar una respuesta razonable a esta última pregunta.

Answer 1

La expresión del costo total de construcción como función del radio es

$\bold{C~=~8\cdot\pi\cdot r^2~+~\dfrac{110,000}{r}}$

Explicación:

Si llamamos    r   el radio de la base y    h    a la altura, el volumen del cilindro viene dado por:

$\bold{Volumen~=~\pi\cdot r^2\cdot h~=~11,000\qquad\Rightarrow\qquad h~=~\dfrac{11,000}{\pi\cdot r^2}}$

La función objetivo es el costo de construcción del tanque  C.  Este viene dado por la suma del producto del área de la parte superior y el precio del material de construcción, el producto del área lateral y el precio del material de construcción, y el área de la parte inferior y el precio del material de construcción.

$\bold{C~=~3\cdot\pi\cdot r^2~+~5\cdot 2\cdot\pi\cdot r\cdot h~+~5\cdot\pi\cdot r^2}$

Expresa el costo total de construcción como función del radio.

De la expresión auxiliar, ecuación del volumen, tomamos  h  en función de  r  y lo sustituimos en la función  C:

$\bold{C~=~8\cdot\pi\cdot r^2~+~10\cdot\pi\cdot r\cdot h~=~8\cdot\pi\cdot r^2~+~10\cdot\pi\cdot r\cdot(\dfrac{11,000}{\pi\cdot r^2})\qquad\Rightarrow}$

La expresión del costo total de construcción como función del radio es

$\bold{C~=~8\cdot\pi\cdot r^2~+~\dfrac{110,000}{r}}$

Si tuvieras que tomar la decisión, ¿con qué dimensiones pedirías la manufactura del tanque a fin de reducir su costo al mínimo? Apóyate en una gráfica para dar una respuesta razonable a esta última pregunta.

La respuesta a esta pregunta se obtiene aplicando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos, pero como se indica que se realice gráficamente, pues se anexa la gráfica de la función  C:

De la gráfica podemos observar que el valor positivo más bajo de  r  es  6,  para un costo mínimo de  2738  dólares.

Para conocer el valor de  h  sustituimos el valor de  r  en la expresión de  h:

$\bold{h(6)~=~\dfrac{11,000}{\pi\cdot(6)^2}~\approx~97~m}$

Se pediría la manufactura del tanque con un radio de  6  metros y una altura de  97  metros, a fin de reducir su costo al mínimo.