Question

Una progresión aritmética consta de k enteros positivos. Si se cumple que cada término a partir del segundo es al menos 22% más que el término anterior, determine el mayor valor posible de k.

Answer 1

El mayor valor posible para k es k = 6

Una progresión aritmética es una sucesión numérica que comienza en un término a1 y cuyo siguiente término se obtiene sumando al anterior una cantidad constante llamada diferencia denotada con la letra "d".

El nesimo término de una progresión aritmética es:

an = a1 + d*(n-1)

Sea nuestra progresión aritmética que comienza en a1 y de diferencia "d". Cada término a partir del segundo es al menor 22% más que el termino anterior.

Ademas son enteros positivos por lo tanto a1 es entero positivo. Ademas como un termino debe ser mayor que el anterior al menos en 22% entonces d debe ser positivo

Los términos son:

a1 = a1

a2 = a1 + d

a3 = a1 + 2d

a4 = a1 + 3d

• 1.22*a1 <  a1 + d

0.22*a1 < d

1.22*(a1 + d) < a1 + 2d

1.22*a1 + 1.22d < a1 + 2d

0.22 a1 < 0.78d

0.22a1/0.78 < d

0.282051 a1 < d

Como a1 es entero positivo.

0.282051 a1 < 0.22 a1 < d

• 1.22*(a1 + 2d) < a1 + 3d

1.22*a1 + 2.44d < a1 + 3d

0.22a1 < 0.56d

0.22a1/0.56 < d

0.3928 a1 < d

Como a1 es entero positivo.

0.3928 a1 < 0.282051 a1 < 0.22 a1 < d

• 1.22*(a1 + 3d) < a1 + 4d

1.22*a1 + 3.66d < a1 + 4d

0.22a1 < 0.34d

0.22a1/0.34 < d

0.647058 a1 < d

Como a1 es entero positivo.

0.647058 a1 < 0.3928 a1 < 0.282051 a1 < 0.22 a1 < d

• 1.22*(a1 + 4d) < a1 + 5d

1.22*a1 + 4.88d < a1 + 5d

0.22a1 < 0.12d

0.22a1/0.12 < d

1.83333 a1 < d

Como a1 es entero positivo:

1.83333 a1 < 0.647058 a1 < 0.3928 a1 < 0.282051 a1 < 0.22 a1 < d

• 1.22*(a1 + 5d) < a1 + 6d

1.22*a1 +6.1d < a1 + 6d

0.22a1 < -0.1*d

Ahora a1 es positivo y por ende 0.22*a1 es positivo, luego d es positivo y por ende -0.1*d es negativo por lo tanto no se cumple que 0.22a1 < -0.1*d

El error lo obtenemos al comparar al séptimo término con el 6 to término. La progresión puede tener a lo máximo 6 términos. y la diferencia debe ser mayor que que el 1.8333333 del primer términos.

Busquemos una progresión con esta característica si a1 = 1 debemos tomar una diferencia que sea mayor al 1.83333 digamos d = 2 entonces la progresión es:

1, 2, 4, 6, 8, 10

Digamos d = 3, tenemos:

1, 4, 7, 10, 13, 16