Question

Una prensa hidráulica tiene un émbolo de radio 10
cm y el otro de 40 cm. ¿qué fuerza hay que hacer
sobre el émbolo pequeño para que pueda elevar un
peso de 2000 N?

Answer 1

La fuerza que se debe ejercer sobre el émbolo pequeño es de 125 N

Empleamos el Principio de Pascal

Una aplicación de este principio es la prensa hidráulica.

Por el Principio de Pascal

$\large\boxed{ \bold{ P_{A} = P_{B} }}$

Teniendo

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

Donde consideramos que los émbolos se encuentran a la misma altura

Por tanto se tienen dos émbolos uno pequeño o el émbolo menor de un lado y el émbolo mayor al otro lado

Donde si se aplica una fuerza F al émbolo de menor área el resultado será una fuerza mucho mayor en el émbolo de mayor área o embolo mayor

Para que se cumpla la relación

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

Datos

$\bold{ F_{B }} \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo mayor }\ \ \bold { 2000\ N}$

$\bold{ r_{B} } \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Radio \'embolo mayor }\ \ \bold { 40\ cm }$

$\bold{ r_{A} } \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Radio \'embolo menor }\ \ \bold { 10\ cm }$

Luego por enunciado sabemos que la fuerza aplicada sobre el émbolo mayor es de 2000 N

Siendo

$\bold{ F_{B } = 2000 \ N }$

Evaluamos las superficies de los émbolos

Determinamos la superficie del émbolo mayor

Embolo Mayor

El émbolo mayor tiene un radio de 40 centímetros

Hallamos la superficie o área del émbolo mayor empleando la fórmula para calcular el área de un círculo

$\boxed{ \bold{S = \pi \ . \ r ^2} }$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \ . \ (40 \ cm ) ^2 }}$

$\large\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \ 1600 \ cm ^2 }}$

La superficie o área del émbolo mayor es de π 1600 centímetros cuadrados

Calculamos la superficie del émbolo pequeño (menor)

Embolo Menor

El émbolo menor tiene un radio de 10 centímetros

Hallamos la superficie o área del émbolo menor empleando la fórmula para calcular el área de un círculo

$\boxed{ \bold{S = \pi \ . \ r ^2} }$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ . \ (10 \ cm ) ^2 }}$

$\large\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ 100 \ cm ^2 }}$

La superficie o área del émbolo menor es de π 100 centímetros cuadrados

Determinamos la fuerza que se debe ejercer en el émbolo pequeño o menor

Por el Principio de Pascal

$\large\boxed{ \bold{ P_{A} = P_{B} }}$

Teniendo

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

Donde

$\bold{ F_{A }} \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo menor }$

$\bold{ S_{A} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{\'Area \'embolo menor }\ \ \bold {\pi \ 100\ cm^{2} }$

$\bold{ F_{B }} \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo mayor}\ \ \bold { 2000\ N}$

$\bold{ S_{B} } \ \ \ \ \ \ \large\textsf{ \'Area \'embolo mayor }\ \ \bold {\pi \ 1600\ cm^{2} }$

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ \pi \ 100 \ cm ^{2} } = \frac{ 2000 \ N }{\pi \ 1600 \ cm^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{ 2000 \ N \ . \ \pi \ 100\ \ cm^{2} }{ \pi \ 1600 \ cm^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{ 2000 \ N \ . \not \pi \ 100\ \not cm^{2} }{\not \pi \ 1600 \not cm^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{2000 \ . \ 100 }{1600} \ N }}$

$\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{200000 }{1600} \ N }}$

$\large\boxed{ \bold{ F_{A} =125 \ N }}$

Luego la fuerza que se debe aplicar sobre el émbolo pequeño (menor) es de 125 N