Question

Una pieza de artillería está en “A” y no puede ver el blanco “C”. Si el puesto de mando “B” está a 35 km de “A” y a 22 km de “C”, calcular la distancia de la pieza al blanco si el Angulo ABC es de 50°.

¡¡Ayuda por favor !!

Answer 1

La distancia de la pieza de artillería al blanco es de aproximadamente 26,816 kilómetros

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}}$

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

Solución:

Representamos la situación en un triángulo ABC en donde

El lado AB (lado a) representa la distancia del puesto de artillería ubicado en A hasta el puesto de mando situado en B, el lado BC (lado b) equivale a la distancia entre el puesto de mando B y el blanco localizado en el punto C, y el lado AC (lado c) conforma la distancia desde el puesto de artillería hasta el blanco en C y que es nuestra incógnita

Nos piden calcular la distancia que existe entre una pieza de artillería ubicada en un punto A y un blanco situado en un punto C, donde la distancia entre el puesto de mando en B hasta el puesto de artillería en A y el blanco en C conforman un ángulo de 50°

Hallando la distancia entre la pieza de artillería ubicado en A y el blanco situado en C

Lado AC - lado c  

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed {\bold { AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2 \ . \ AB \ . \ BC \ . \ cos(\gamma ) }}}$

o

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\textsf{Quitamos las unidades para faciltaci\'on }$

$\boxed {\bold { c^{2} = 35^{2} + 22^{2} - 2 \ . \ 35 \ . \ 22 \ . \ cos(50\° ) }}}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 1225 + 484 - 1540\ . \ cos(50\° ) }}}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 1709 - 1540\ . \ 0,6427876096865 }}}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 1709 - 989,89 }}}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 719,11 }}}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c^{2} } = \sqrt{719,11} }}}$

$\boxed {\bold { c = \sqrt{719,11} }}}$

$\boxed {\bold { c \approx 26,816226 \ km }}}$

$\large\boxed {\bold { c \approx \ 26,816 \ km }}}$