Question

Una persona tiene 80 metros de alambre y quiere hacer con él un cerco rectangular. ¿Cuáles deben ser las medidas del cerco, para que tenga la mayor área posible? ¿Cuall es el valor de esa área?​

Answer 1

Respuesta:

Las medidas del cerco son de 20 metros por 20 metros.
Y el área resultante máxima es de 400 metros cuadrados.

Explicación paso a paso:

Como el terreno es rectangular, vamos a suponer 2 medidas, $x$ e $y$, que serán la base y altura del rectángulo.

Con esto, el área será:
$A=x*y$

Debido a que se disponen de 80 metros de alambre, el perímetro deberá ser igual a esta cantidad:
$2x+2y=80$

De la segunda ecuación despejamos una incógnita, y la reemplazamos en la función del área:

$2y+2x=80\\2y=80-2x\\y=\frac{(80-2x)}{2}\\y=40-x$

Reemplazando tenemos:

$A=x*(40-x)\\A=40x-x^{2}$

Ahora que tenemos el área en función de una variable, buscamos su máximo valor. Acá se puede hacer por derivadas, o más simple aún, por tratarse de una parábola invertida, su máximo valor se halla en su vértice.

Hallamos la coordenada $x$ del vértice por la siguiente ecuación:

$x_{v}=\frac{-b}{2a}$

Donde en nuestro caso, $b=40$ y $a=-1$:

$x_{v} =\frac{-40}{2(-1)}\\x_{v} =20$

Ya habiendo calculado la incógnita $x$ volvemos a la expresión donde habíamos despejamos $y$, reemplazamos y calculamos:

$y=40-(20)\\y=20$

Finalmente, las dimensiones del rectángulo serán $20*20$ metros.

Y el área es igual a:

$A=20*20=400m^{2}$