Question

Una persona se encuentra sobre una colina de 32 metros de altura y desde alli visualiza la parte superior e inferior del edificio con un angulo de elevación de 60° y de depresión de 53°. Hallar la altura del edificio​

Answer 1

La altura del edificio es de 73.57 metros  

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.      

Donde los triángulos dados de 30-60 y de 37-53 resultan ser lo que se denomina triángulo notable

Dado que una persona se encuentra sobre una colina y observa la parte inferior de un edificio con un ángulo de depresión de 53° y la parte superior del mismo con un ángulo de elevación de 60°:

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El ABD: en donde el lado AB representa la línea visual -que está por debajo de los ojos del observador- a la parte inferior del edificio-, con un ángulo de depresión de 53°, el lado DB que es una porción del edificio y a la vez coincide con la altura de la colina en donde se halla la persona observadora, siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo, y por último el lado AD que es la línea horizontal de visión al edificio y también la distancia horizontal hasta este, en donde este otro cateto -es en este caso el adyacente-, -de la cual no conocemos su magnitud a la que llamaremos distancia "x"-, la cual es una preincógnita

El triángulo ACD: en donde el lado AC representa la línea visual -que está por encima de los ojos del observador- a la parte superior del edificio-, con un ángulo de elevación de 60°; el lado CD que es el cateto opuesto al ángulo dado en este triángulo y que equivale a la otra porción de la altura del edificio, -de la cual no conocemos su dimensión y la llamaremos distancia "y"-;  teniendo finalmente el lado AD el cual es el cateto adyacente al ángulo, y coincide con el cateto adyacente del primer triángulo, siendo la distancia "x" al edificio

Donde se pide hallar la altura "h" del edificio

Por tanto se determinará primero la distancia "x" hasta el edificio, y una vez conocida esa distancia podremos calcular la distancia "y"

Donde hallada la distancia "y" en el segundo triángulo -siendo el cateto opuesto del mismo:

La sumatoria de los dos catetos opuestos a los ángulos dados de cada uno de los dos triángulos nos dará la altura "h" del edificio

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Se empleará la razón trigonométrica tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos para determinar las distancias "x" e "y"

Razones trigonométricas con ángulos notables

En ABD

Hallamos la distancia x - distancia de la colina al edificio

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 53° al punto B para facilitar la situación

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α  $\bold{\alpha = 53^o}$

$\boxed{\bold { tan(53^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(53^o) = \frac{ altura\ colina \ }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ colina }{ tan(53^o) } } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 53 grados es } \bold {\frac{ 4 } {3 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 32\ m \ }{ \frac{4}{3} } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 32\ m \ \ . \ \frac{3}{4} } }$

$\boxed{\bold {distancia \ x = \frac{96 }{4} \ m } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 24 \ metros } }$

La distancia desde la colina al edificio es de 24 metros

Conocido el valor de la preincógnita x

En ACD

Hallamos la distancia y - porción de la altura del edificio

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β   $\bold{\beta = 60^o }$

Como el triángulo es notable de 30-60 al conocer el valor del cateto adyacente al ángulo de 60°, para hallar la dimensión del cateto opuesto basta multiplicar el valor del cateto adyacente al ángulo de 60° por √3

Los cálculos nos darán la razón

$\boxed{\bold { tan(60^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(60^o)= \frac{ distancia \ y }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = distancia \ x \ . \ tan(60^o) } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 60 grados es } \bold {\sqrt{3} }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 24 \ m \ . \ \sqrt{3} } }$

$\large\boxed{\bold {distancia \ y = 24\sqrt{3} \ metros } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 41.57 \ metros } }$

La distancia y es de 41.57 metros- siendo una parte de la altura del edificio

Hallamos la altura h del edificio

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Edificio\ (h) = altura \ colina\ +\ distancia \ y } }$

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Edificio\ (h) = 32 \ m +\ 41.57 \ m } }$

$\large\boxed{\bold { Altura \ del \ Edificio\ (h) = 73.57 \ metros } }$

La altura del edificio es de 73.57 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del ejercicio propuesto