Una persona dispara una flecha hacia un blanco situado a 80m
sobre la linea horizontal. A la mitad de la distancia está una
barrera de 15m de altura. Si la velocidad de disparo es de 25 m/s,
¿Con que ángulo se debe disparar la flecha para que logre pasar
la barrera?
Respuestas a la pregunta
Las ecuaciones del movimiento de la flecha son:
x = 25 m/s cosα . t
y = 25 m/s senα . t - 1/2 . 9,80 m/s² . t²
Conviene eliminar el tiempo entre las dos ecuaciones. Omito las unidades.
t = x / (25 cosα); reemplazamos en y:
y = x tgα - 4,90 x² / (25 cosα)²
Una identidad trigonométrica que necesitamos es 1 / cos²α) = 1 + tg²α
Reemplazamos:
y = x tgα - 4,90 x² / 625 (1 + tg²α)
Para x = 80 / 2 = 40, y = 15; reemplazamos valores.
15 = 40 tgα - 4,90 . 40² / 625 (1 + tg²α)
Reducimos números y quitamos paréntesis.
15 = 40 tgα - 12,544 - 12,544 tg²α
O bien 12,544 tg²α - 40 tgα + 27,544 = 0
Es una ecuación de segundo grado en tgα, que resuelvo directamente
tgα = 1,0059 ≅ 1; o sea α = 45°
tgα ≅ 2,183; o sea α ≅ 65,3°
Estos dos ángulos pasan rozando la barrera pero no dan en el blanco.
El ángulo menor se denomina tiro rasante y el mayor tiro por elevación.
Adjunto gráficos con esta situación con las dos trayectorias.
Veamos ahora el o los ángulos para que alcance al blanco.
Repetimos la ecuación para x = 80 m; y = 0
0 = 80 tgα - 4,90 . 80² / 625 (1 + tg²α)
0 ≅ 80 tgα - 50 tg²α - 50
50 tg² - 80 tgα + 50 = 0; resolvemos.
No tiene raíces reales.
Significa que con 25 m/s no puede alcanzar 80 m de distancia.
Saludos.
