Question

una persona desea construir un corral rectangular para encerrar a su perro, de área tan grande como sea posible. Determina las dimensiones del corral si se dispone de 40m lineales para cercarlo. Solo se cercarán 3 lados del corral porque se utilizará una pared de una casa como el cuarto lado. ¿Qué dimensiones debe tener el corral? (se utilizan DERIVADAS)

Answer 1

Las dimensiones del corral son de 10 metros de ancho por 20 metros de largo.

Explicación paso a paso:

Si tenemos 40 metros lineales de alambre para cercar el corral, el perímetro es:

$p=2a+b=40m$

Y el área del corral es:

$A=ab$

En la primera ecuación despejamos b y lo reemplazamos en la segunda:

$b=40-2a\\\\A=ab=a(40-2a)=40a-2a^2$

Para hallar el área máxima tenemos que derivar esta expresión e igualarla a 0 y de ahí despejar el valor de 'a' que hace el área máxima:

$\frac{dA}{da}=40-4a=0\\\\a=10m$

Y lo reemplazamos en la expresión del perímetro para hallar la otra dimensión:

$b=40m-2a=40m-2.10m=20m$

Answer 2

Las dimensiones que debe tener el corral son:

• x = 10 m

• y = 20 m

Cálculo de las dimensiones del corral

Para calcular las dimensiones del corral debemos:

• Plantear las ecuaciones del área y del perímetro del corral de acuerdo a las condiciones del problema.
• Realizar las operaciones pertinentes para que la ecuación del área quede en función de una sola de las variables.
• Derivar la ecuación del área respecto de la variable e igualarla a cero para hallar el máximo.

Procedimiento seguido

Perímetro = 2*x + y = 40

Despejando:

y = 40 - 2*x

Área = x*y

Reemplazando:

Área = x*(40 - 2*x)

Área = 40*x -2*x²

Derivando:

d(Área)/dx = 40 - 4*x = 0

x = 40/4

x = 10

Resolviendo:

y = 40 - 2*10

y = 40 - 20

y = 20

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