Una persona de 70 kg de masa se lanza en una práctica de bungee jumping. Si en el tiempo t=0 la banda elástica ha cedido 8 metros y la velocidad de ascenso es de 30m/seg, Halle la función x(t) que describe el movimiento libre resultante si se sabe que la banda elástica tiene una constante de elasticidad de 350N/m
2
unidades debajo de la posición de equilibrio. La masa es de 1
5
y la constante elástica es
= 2
. El movimiento es amortiguado ( = 1,2) y está siendo impulsado por una fuerza periódica externa ( =
2
),
comenzando en = 0. Dicha fuerza está definida como () = 5 cos 4. Para esta situación, procedemos a encontrar la
ecuación diferencial que describe el movimiento
Respuestas a la pregunta
Datos
m=70kg
t=0
x=8m
v=30m/seg
k=350N/m
en este caso sobre la persona se aplican dos tipos de fuerza, la gravedad y la fuerza de la banda elástica
la fuerza de la cuerda elástica es:
F_e=-350x
La fuerza de la gravedad es:
F_g=-mg=-70kg*(9.8〖m/s〗^2 )=-686N
La suma de las fuerzas:
F=F_e+F_g
∑▒F=-350x-686
∑▒F=ma
-350x-686=70 (d^2 x)/(dt^2 )
Lo mismo que decir:
-350x-686=70x''
70x^''=-350x-686
Donde:
70x^''+350x=-686
70/70 x^''+350/70 x=(-686)/70
x^''+5x=(-49)/5
La solución de la ecuación característica:
k^2+5=0
k^2=-5
k=±√5 i
Solución general de la ecuación homogénea:
x_G (t)=c_1 cos(√5 t)+c_2 sen(√5 t)
La solución particular es:
y_p (t)=A
0+5A=(-49)/5
A=((-49)/5)/5=-49/25
La solución general completa:
x(t)=c_1 cos(√5 t)+c_2 sen(√5 t)-49/25
Las condiciones iniciales:
y(0)=-8
c_1-49/25=-8
c_1=-8+49/25
c_1=-200/25+49/25
c_1=-151/25
y'(0)=30
〖√5 c〗_2=30
c_2=30/√5
c_2=6√5
La solución es:
x(t)=-151/25 cos(√5 t)+〖6√5 sen〗(√5 t)-49/25