una persona compra un vehículo a us$22.000 por un vehículo de 4x4 nuevo. suponga que el vehículo se desprecia a una tasa del 20%.a)deteemine el valor dentro de un año. b) determine el valor del vehículo en 5 años. c) después de cuanto timepi el valor del vehículo será de US$5.000?
Respuestas a la pregunta
Tarea:
Una persona compra un vehículo a $22.000 por un vehículo de 4x4 nuevo. suponga que el vehículo se deprecia a una tasa del 20%.
- a) Determine el valor dentro de un año.
- b) Determine el valor del vehículo en 5 años.
- c) Después de cuánto tiempo el valor del vehículo será de $5.000?
Respuesta:
a) 17.600
b) 9.011
c) 7 años, 8 meses
Explicación paso a paso:
a)
Pierde valor a razón de 20% anual, ok? Eso significa que de su valor inicial que es el 100%, transcurrido un año valdrá 100-20 = 80% = 80/100 = 0,8 y esta es la razón por la que hay que multiplicar el valor inicial para saber el precio después del año.
22000 × 0,8 = 17.600
b)
Para saber su valor transcurridos 5 años es más práctico acudir a las progresiones geométricas (PG) ya que estamos ante ese tipo de progresión y disponemos de los siguientes datos:
- Primer término de la PG ... a₁ = 22000 (el valor inicial)
- Razón de la PG ... r = 0,8 (nº por el que se multiplica cada término para obtener el siguiente)
- Número de términos de la PG ... n = 5 (años a transcurrir)
- Valor del 5º término ... a₅ = ? (lo que nos pide calcular)
Se usa la fórmula del término general y se sustituyen los datos conocidos teniendo en cuenta que aₙ = a₅
aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹
a₅ = 22000 × 0,8⁵⁻¹ = 22000 × 0,4096 = 9011,2 será su valor el 5º año.
c)
Para saber cuánto tiempo transcurre hasta que el vehículo se rebaje al valor de 5.000 hay que usar de nuevo la fórmula anterior pero en este caso sabemos el valor del término final (aₙ = 5000) pero no sabemos el valor de "n" que es justamente el tiempo en años que tardará en llegar a ese precio. Por tanto aplico la fórmula de nuevo a ver qué nos sale:
aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹
5000 = 22000 × 0,8ⁿ⁻¹
5000 / 22000 = 0,8ⁿ⁻¹
5/22 = 0,8ⁿ/0,8¹
0,8ⁿ = (0,8 × 5) / 22
0,8ⁿ = 0,18
n = 7,66
(en aproximación manual usando calculadora, pues no recuerdo el tema de logaritmación que es la forma en que debería calcularse de la manera más exacta)
Como son años, los decimales (0,66) podemos convertirlos en meses multiplicando por 12 meses que tiene el año.
12×0,66 = 8 meses (aproximado por exceso)
El tiempo en que alcanzaría un valor de 5.000 es de 7 años y 8 meses.
Saludos.