Una pequeña gota de aceite de 0,2 g de masa, cae en el aire desde el reposo. Para una velocidad de 40cm/seg.
la fuerza debido a la resistencia del aire es de 160 dinas. Asumiendo que la fuerza de resistencia del aire es proporcional a la velocidad.
Determinar la velocidad límite .
Respuestas a la pregunta
La velocidad limite de la gota bajo las condiciones dadas es de:
Lim(t→∞) v(t) = 49cm/s
Explicación:
Como la resistencia del aire es proporcional a la velocidad de la gota
R(t) = βv(t)
β = R8t)/v(t) = 160/40 = 4
Por segunda ley de newton, sabemos que:
F = ma
Donde para este ejemplo para la gota la fuerza o sumatoria es:
- P - Fa = mg - βv(t) = ma
- a = v'(t)
mv'(t) = mg - βv(t) Ordenamos la Ecuación diferencial lineal
v'(t) - βv(t)/m = g .:. g = 980cm/s²
v'(t) - 4v(t)/.2 = 980
v'(t) + 20v(t) = 980 Resolvemos la EDL con un factor integrante de e^20t
d/dt[e^20t v(t)] = 980e^20t
e^20t v(t) = ∫980e^20t
e^20t v(t) = 980e^20t/20 + C1 = 49e^20t + C1
v(t) = e^-20t( 4.9e^20t + C1)
v(t) = 49 + C1e^-20t
si v(0) = 0
e^-20t( 4.9e^20t + C1) = 0
C1 = -49
v(t) = 49(1 - e^-20t)
Velocidad limite:
Lim (t→∞) 49(1 - e^-20t)
49 Lim (t→∞) (1 - 1/e^20t) = 49* (1 - 0) = 49cm/s
Lim(t→∞) v(t) = 49cm/s