Question

Una pequeña esfera de 2 g de masa se libera desde
el reposo en un gran contenedor lleno con aceite, donde experimenta una fuerza
resistiva proporcional a su rapidez. La esfera alcanza una rapidez terminal de
5 cm/s. Examine la constante  de tiempo T
y el tiempo en el que la esfera alcanza 90% de su rapidez terminal.

Answer 1

Debemos suponer que en la fuerza resistiva está incluido el empuje de Arquímedes. En caso contrario debemos conocer la densidad del material de la esfera y del aceite.

La fuerza resistente puede escribirse como Fr =  k.v (hacia arriba), siendo k la contante de proporción, que habrá que determinar.

Por lo tanto: m.g - k.v = m.a (1)

Se alcanza la velocidad terminal cuando la aceleración es nula:

Luego m.g = k.V; nos queda k = m.g/V = 2 g . 980 cm/s² / 5 cm/s = 392 din.s/cm

Se sabe que la aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo.

Reemplazamos en (1)

m.g - k.v = m.dv/dt; dividimos por la masa y despejamos dt:

dt = dv / [g - k/m . v]

Debemos integrar la expresión para t entre cero y t y v entre cero y v:

Para ser breves en este trabajo integro directamente usando un poderoso procesador matemático.

t = - m/k . Ln[(m.g - k.v) / (m.g)]; de esta expresión debemos despejar v para obtener la velocidad en función del tiempo.

Ln[(m.g - k.v) / (m.g)] = - k/m.t

(m.g - k.v) / (m.g) = e^(- k/m.t);

1 - k,v / (m.g) = e^(-k/m.t);

k/(m.g) = V (velocidad terminal); k/m = 1/T siendo T la constante de tiempo

Nos queda: 1 - v/V = e^(-t/T)

Finalmente v = V [1 - e^(-t/T)]

Respondiendo tu pregunta: T = m/k = V/g = 5 cm/s / 980 cm/s² = 0,0051 s

v = 0,9 . V = V [1 - e^(- t/T)]; simplificamos:

0,9 = 1 - e^(- t/T); e^(- t/T) = 1 - 0,90 = 0,1

- t/T = Ln(0,1) = - 2,3

Finalmente t = 2,3 . 0,0051 s = 0,012 s

Revisa por si hay errores. Saludos Herminio