Question

Una pequeña ciudad tiene 29.524 habitantes. Uno de ellos se entera de una noticia. Al cabo de una hora la ha comunicado a tres de sus vecinos. Cada uno de estos, la transmite en una hora a otros tres de sus vecinos que desconocen la noticia. Éstos repiten la comunicación en las mismas condiciones. ¿Cuánto tiempo tardarán en enterarse todos los habitantes de la ciudad?

Answer 1

La solución se obtiene por progresiones geométricas (PG).

Apartamos al habitante inicial que se entera de la noticia y la comunica a los primeros 3 vecinos, ok?

Si ese habitante no forma parte del cálculo, hemos de descontarlo del total de vecinos, con lo cual nos quedamos con que serán 29.523 vecinos los que se van enterando de la noticia, ok?

Ahora hay que fijarse en que cada vez que se transmite la noticia, el número resultante es una potencia de 3 porque los primeros tres vecinos son el primer término de la PG.

Cuando ellos comunican la noticia, cada uno lo hace a otros tres vecinos con lo cual el segundo término de la progresión serán 3×3 = 9 nuevos vecinos que saben la noticia.

Al estos 9 nuevos vecinos comunicar esa noticia, el tercer término de la PG serán 9×3 = 27 nuevos vecinos que la saben, y así sucesivamente.

Al preguntarnos cuánto tiempo tardarán en enterarse todos los vecinos, lo que pregunta en realidad es cuántos términos tiene esta PG ya que cada término corresponde a un grupo de vecinos que se ha enterado transcurrida una hora desde que se enteró el grupo anterior, ok?

Analizado todo eso, lo que nos toca averiguar es "n", es decir, el nº de términos de la PG que será el nº de horas que han tardado en enterarse.

Desde la fórmula del término general de cualquier PG, obtenemos la representación del último término $a_n$  el cual desconocemos pero que no nos va a hacer falta conocer para llegar a la solución del ejercicio.

La fórmula dice:  $a_n=a_1* r^{n-1}$
y de ahí conocemos esto:
a₁ = 3 (primer término de la PG que son los primeros tres vecinos)
r = 3 (número por el que se multiplica cada término para hallar el siguiente)
n = nº de términos de la PG = nº de horas que tardan en enterarse todos

Sustituyendo en esa fórmula tenemos esto:
$a_n=3* 3^{n-1} = 3^1* 3^{n-1}= 3^{1+n-1}=3^n$

Sabiendo el valor de $a_n$  acudo a la fórmula de suma de términos de cualquier PG que dice:

$S_n= \frac{a_n*r\ -a_1}{r-1}$

En esta fórmula conozco
⇒⇒ $S_n=29523$
⇒⇒ $a_1=3$
⇒⇒ $r=3$
⇒⇒ $a_n=3^n$

Sustituyo datos conocidos y resuelvo...

$29523= \frac{3^n*3-3}{3-1} \\ \\ 59046+3=3^n \\ \\ 59049=3^n \\ \\ n=10$

La respuesta es 10 horas tardarán en enterarse todos.

Saludos.