Question

una pelota se tira desde un plano inclinado y se choca con este a una distancia de 76.4m si la pelota sube a una altura maxima de 19.3m arriba dell punto de lanzamiento calcula la velocidad inicial y la inclinacion

Answer 1

Buena noche,

Para iniciar la resolución de este problema es necesario plantear un diagrama donde se ven reflejadas cada una de las componentes que intervienen en el fenómeno, tomando en cuenta que la pelota describe un movimiento parabólico en un plano inclinado, compuesto de un movimiento horizontal en adición a un movimiento vertical, cada uno con sus expresiones particulares, sin embargo es importante conocer alguna referencia de la pendiente del plano inclinado, anteriormente ha sido planteado este problema, y la misma corresponde a una relación 3:1 (abscisa:ordenada), tal como verás en la imagen, lo cual facilita los cálculos:

Partimos del análisis del movimiento horizontal, dirección de x, donde podemos definir la posición como función de la componente de la velocidad inicial en x y el tiempo, donde se aprecia que dicha componente puede expresarse en función del ángulo de inclinación (que denominaremos tita), siendo así:

$x = V_{x}*t = V_{o}*cos(tita)*t$ .... Expresión (1)

Ahora procedemos al análisis del movimiento vertical, donde para dicha componente existe aceleración (acción de gravedad), debido al comportamiento de caída libre y dependerá del seno del ángulo de inclinación, planteando las expresiones de velocidad en la componente y dependiente del tiempo, la posición y la velocidad en la componente y dependiente de la posición:

$V_{y}= V_{oy} -g*t = V_{o}*sen(tita) -g*t$ .... Expresión (2)

$y = V_{o}*sen(tita)*t - \frac{ t^{2} }{2*g}$ ..... Expresión (3)

$V_{y} ^{2} = V_{oy}^ {2} - 2*g*y$ ..... Expresión (4)

A partir de acá se establece la resolución del problema, sabiendo que cuando alcanza la altura máxima, la componente en y de la velocidad es cero, así que es posible simplificar la expresión 4 y conocer la componente en y de la velocidad inicial evaluando la altura máxima dada:

$V_{oy} = \sqrt{2*9.8*19.3 } = 19.4494 m/s$

A partir del punto de impacto y previamente con el conocimiento de una condición de plano inclinado, se sabe que la distancia donde impacta se puede descomponer en un componente horizontal como vertical, con un ángulo desconocido que llamaremos phi, acá es donde el dato de la relación entre pendientes es importante, ya que es posible definir dicho ángulo, como se adjuntó en la foto.

Con ello se evalúan las expresiones de la posición en X y en Y, observando que la componente horizontal depende del coseno de phi, mientras la componente vertical del seno de phi en función a la distancia de impacto, que llamaremos D:

$D*cos(phi) = V_{ox} *t$ ..... Expresión (5)

$-D*sen(phi) = V_{oy} *t - \frac{ t^{2} }{2*g}$ .... Expresión (6)

Donde la posición es negativa considerando que el origen se establece en el punto de lanzamiento, ya con estas expresiones, se evalúa la expresión (6) para obtener el tiempo de vuelo, o el tiempo que demora hasta llegar al punto de impacto, igualando la misma a cero, teniendo en cuenta 2 cosas:

sen(phi) = $\frac{1}{ \sqrt{10} }$

cos(phi) = $\frac{3}{ \sqrt{10} }$

Finalmente la solución correcta será el tiempo positivo, que corresponde con 4.96 segundos. Con ello se calcula la componente de la velocidad inicial en X de la expresión 5, sustituyendo dicho tiempo y la relación trigonométrica que corresponda, obteniendo que: Vox = 14.61278 m/s.

Conocidas ambas componentes de la velocidad inicial, la velocidad inicial resultante como la hipotenusa del triángulo del que se desprenden, bastará definir por función trigonométrica simple su valor:

$V_{o} = \sqrt{ V_{ox} ^{2} + V_{oy} ^{2}} = 24,3271 m/s$

Finalmente el ángulo de inclinación (tita) por la misma relación del triángulo de interés, no es más que la relación entre las componentes de velocidad, siendo válida a plantear cualquiera de interés:

tita = sen^(-1)(19,4494/24,3271) = 53,0819 grados.

Espero haberte ayudado.