Una pelota que se deja caer desde una altura de 4 m choca de una amanera perfectamente elastica contra el suelo. Si se supone que no se pierde energia mecanica debio a la resistencia del aire, a) demuestre que el movimiento es periodico b) determine el periodo del movimiento?
Respuestas a la pregunta
Este es un problema clásico para prevenir del problema del redondeo.
Partimos de la formula del MRUA(Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado)
s=so+vo*t+1/2*a*t^{2}
Tomo el origen del sistema de refencia arriba, donde empieza la pelota originariamente, y el sentido positivo hacia abajo. (Es algo completamente arbitrario, cualquier sistema de referencia es válido).
Para la bajada:
4=4.9*t^{2} (donde se ha tomado a=g=9.8m/s^{2})
De ahí se obtiene el tiempo de bajada, t=2*sqrt(10)/7 s(CUIDADO CON EL REDONDEO)
La velocidad con la que toca el suelo es:
v=0+t*g=14*sqrt(10)/5
Dado que se produce un choque elástico la pelota asciende con una velocidad igual a con la que golpeo el suelo pero en sentido contrario: v=-14*sqrt(10)/5
Para la subida:
0=4-14*sqrt(10)/5*t+4.9t^{2}
Es una ecuación de segundo grado para el tiempo, donde se obtiene que el tiempo
de subida es el mismo que el de bajada t=2*sqrt(10)/7
La velocidad con la que alcanza la altura inicial se obtiene así:
v=-14*sqrt(10)/5+2*sqrt(10)/7*9.8=0
Dado que la posición y la velocidad es la misma que al principio se volveria a iniciar el movimiento. Se trata por tanto de un movimiento periodico, y el periodo es la suma del tiempo de subida y el tiempo de bajada:
T=4*sqrt(10)/7
El problema de redondear:
Si aproximamos el tiempo de subida por 0.9 obtendremos una velocidad un poco mas pequeña que la real, al aplicar la formula para hallar el tiempo de subida obtendremos una pareja de complejos conjugados, esto es así debido a que para esa velocidad un poco mas pequeña el objeto no llega a alcanzar esa posición.