Question

Una partícula se mueve de tal manera que su vector de velocidad en el tiempo se puede escribir como: v(t)= (2)i+(4t)j+(3)k expresado en m/s.

Encuentre los vectores de posición y aceleración para cualquier tiempo, cuando r0=(1,2,0)m a un tiempo t0=0s.

Encontrar la posición de la partícula (vector), su rapidez (magnitud) y su aceleración (magnitud) para un tiempo t=3/4s.

Answer 1

Sabemos que

r=posición

v=velocidad

a=aceleración

Si nosotros tenemos un vector posición que depende del tiempo entonces para calcular la velocidad aplicamos derivada, si queremos la aceleración aplicamos derivada a la velocidad, todo con respecto al tiempo entonces tenemos que

$r = r(t)$

$v(t) = \frac{d}{dt} (r(t))$

$a(t) = \frac{d}{dt} (v(t)) = \frac{ {d}^{2} }{ {dt}^{2} } (r(t))$

Ahora al revés, sabemos que la integral es una antiderivada, es decir que si tenemos la aceleración y queremos la velocidad aplicamos una antiderivada a la aceleración y obtenemos velocidad y si volvemos a aplicar integración a la velocidad obtenemos la posición

$a = a(t)$

$v(t)=\int(a(t))dt$

$r(t) = \int(v(t))dt$

Nota: Para derivar un vector, debemos derivar cada componente por separado, lo mismo para integrar.

$u=(x(t),y(t),z(t))=x(t)i+y(t)j+z(t)k$

Podemos cambiar de notación vectorial para mayor facilidad

$\int(u)dt=(\int(x(t))dt, \int(y(t))dt,\int(z(t))dt)$

$\frac{d}{dt} (u) = ( \frac{d}{dt} (x(t)), \frac{d}{dt} (y(t)), \frac{d}{dt} (z(t)))$

Un par de integrales y derivadas

$\int(x^{n})dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} + c,n≠-1$

$\int(k)dx=kx+c, k=cte$

$\frac{d}{dt}(x^{n})=nx^{n-1}$

$\frac{d}{dt} (k) = 0, k=cte$

Con esa teoría ya podemos resolver.

• Encuentre los vectores de posición y aceleración para cualquier tiempo, cuando r0=(1,2,0)m a un tiempo t0=0s.

$v(t)= (2)i+(4t)j+(3)k \: \: ( m/s)$

Voy a cambiar de notación

$v(t)=(2,4t,3) m/s$

1. Calculamos la posición

No tenemos la posición solo la velocidad por lo que aplicamos integral y obtenemos el vector posición.

$\int(v(t))dt=(\int(2)dt,\int(4t)dt,\int(3)dt)$

$r(t)=(\int(2)dt,\int(4t)dt,\int(3)dt)$

$r(t)=(2t+C_{1}, 2t²+C_{2}, 3t+C_{3})$

Nos dicen que al tiempo t=0, r(0)=(1,2,0), ese dato lo usamos para calcular las constantes

Reemplazamos en r(t), el valor de t igual a cero y lo igualamos al vector de posición inicial

$r(t)=(2t+C_{1}, 2t²+C_{2}, 3t+C_{3})$

$r(0)=(C_{1}, C_{2}, C_{3})$

Igualando

$r(0)=(C_{1}, C_{2}, C_{3}) = (1,2,0)$

Vemos que cada constante es igual a cada valor del vector velocidad por lo que simplemente podemos sustituir

$r(t)=(2t+C_{1}, 2t²+C_{2}, 3t+C_{3})$

Sustituyendo

Nota: Como la velocidad estaba en m/s, la posición estará en metros.

$r(t)=(2t+1, 2t²+2, 3t)m$

Ese es el vector de posición para cualquier tiempo, ahora calculamos el vector aceleración.

1. Calculamos la aceleración

Para la aceleración lo que debemos hacer es derivar el vector de velocidad y así tenemos la aceleración.

$v(t)=(2,4t,3) m/s$

Derivamos

$\frac{d}{dt}(v(t))=(\frac{d}{dt}(2),\frac{d}{dt}(4t),\frac{d}{dt}(3))$

Aplicando

$a(t)=(0,4,0)$

Nota: Como la velocidad estaba en m/s la aceleración estará en m/s²

$a(t)=(0,4,0)m/s^{2}$

Resolvemos ahora la siguiente parte del problema

• Encontrar la posición de la partícula (vector), su rapidez (magnitud) y su aceleración (magnitud) para un tiempo t=3/4s.

1. Calculando el vector posición para t=3/4s

Es difícil trabajar con fracciones en esta plataforma por lo que te voy a dar el resultado en número decimal tomando t=3/4 =0.75s

El vector posición es este

$r(t)=(2t+1, 2t²+2, 3t)m$

Reemplazamos t por 0.75s

$r(0.75)=(2(0.75)+1, 2 {(0.75)}^{2} +2, 3(0.75))m$

Calculando y reemplazando valores

$r(0.75)=(2.5, 3.125, 2.25)m$

Ese es el vector posición para t=0.75=3/4 s

1. Calculando su rapidez (magnitud del vector velocidad) a t=0.75 s

La magnitud de un vector se calcula como

$|u| = \sqrt{u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}}$

Calculamos el vector velocidad a el tiempo t=0.75s

$v(t)=(2,4t,3) m/s$

$v(0.75)=(2,4(0.75),3) m/s$

Calculando y reemplazando

$v(0.75)=(2,3,3) m/s$

Ahora calculando su magnitud

$|v(0.75)| = \sqrt{ {2}^{2} + {3}^{2} + {3}^{2} }$

$|v(0.75)| = \sqrt{ 4+ 9 +9 }$

$|v(0.75)| = \sqrt{22}$

$|v(0.75)| = 4.69 \frac{m}{s}$

Esa es su rapidez

1. Calculando ahora la celeridad (magnitud de la aceleración) a t=0.75s

Si en la aceleración hay una t, reemplazamos por el valor y si no hay calculamos la magnitud de todas formas.

$a(t)=(0,4,0)$

$|a(0.75)| = \sqrt{ {0}^{2} + {4}^{2} + {0}^{2} } = 4 \frac{m}{ {s}^{2} }$

Esa es la celeridad (magnitud de la aceleración) al tiempo que te piden

Nota final: Comparte la tarea con tus compañero es difícil escribir las ecuaciones y espero te ayude, revisa los cálculos y fíjate que los valores sean iguales.