Question

Una partícula se mueve a lo largo de una recta que tiene velocidad v(t)=t^2 e^(-t) metros por segundo, después de t segundos. ¿Cuán lejos llegará durante los primeros t segundos?

Answer 1

Dada una expresión de velocidad para hallar la posición se debe integrar la misma, por lo que para $v(t)=t^{2}e^-t$ la posición o qué tan lejos llegará durante los primeros segundos viene dada por $x(t)=-e^-t(t^{2} +2(t+1)) + 2$.

Para hallar qué tan lejos llegará la partícula se debe hallar la posición integrando la expresión de velocidad de la siguiente manera:

Se resuelve como integral por parte con la expresión:

$\int\limits {u} \, dv = uv - \int\limits {v}du$

Para este caso:

$u=t^{2}$

du= 2tdt

dv = e^-tdt   

v= -e^-t

$\int\limits^t_0 {t^{2}}e^-t \, dx = -t^{2}e^-t + 2\int\limits^0_t {te^-t} \, dt$

Aplicamos integral por parte de nuevo para la última integral mostrada en el paso anterior:

u= t

du= dt

dv = e^-tdt     

v= -e^-t

$= -t^{2}e^-t + 2(-te^-t + \int\limits^t_0 {e^-t} \, dt)$

$= -t^{2}e^-t + 2(-te^-t - e^-t)$

$= -e^-t({t^{2}+2(t+1))$

Evaluando los límites 0 a t:

$= -e^-t({t^{2}+2(t+1) + 2)$

Para saber más de la integral por partes:

https://brainly.lat/tarea/555204