Una partícula que vibra a lo largo de un segmento de 10 cm de longitud tiene en el instante inicial su máxima velocidad que es de 20 cm/s. determina las constantes de movimiento (amplitud, fase inicial, pulsación, frecuencia y periodo) y escribe las expresiones de la elongación, velocidad y aceleración. Calcula la elongación, velocidad y aceleración en el instante t = : 1,75π S.
Respuestas a la pregunta
La velocidad máxima se manifiesta cuando la partícula pasa por el centro del movimiento. Supongamos que se desplaza hacia la derecha
La ecuación del movimiento es x = A cos(ω t + Ф)
A = amplitud; ω = pulsación; Ф = fase inicial.
La velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo.
V = - A ω sen(ω t + Ф)
La aceleración es la derivada de la velocidad.
a = - A ω² cos(ω t + Ф)
Las constantes son: A, ω y Ф
La amplitud es la mitad del segmento
A = 5 cm
Se dirige inicialmente hacia la derecha: x es nulo
0 = A cos(Ф); o sea Ф = π/2 o Ф = - π/2
Si V es positivo en el instante inicial:
V = - A ω sen(Ф); senФ debe ser negativo; es decir, Ф = - π/2
La fase inicial es Ф = - π/2 rad
La velocidad máxima es V = A ω; de modo que ω = V / A
ω = 20 cm/s / 5 cm = 4 rad/s
La pulsación es ω = 4 rad/s
La frecuencia es f = ω / (2 π) = 4 rad/s / (2 π rad)
f = 0,6366 Hz
El período es el valor recíproco de la frecuencia
T = 1 / 0,6366 Hz = 1,57 s
Ecuaciones:
x = 5 cm cos(4 rad/s . t - π/2)
V = - 20 cm/s sen(4 rad/s . t - π/2)
a = - 80 cm/s² cos(4 rad/s . t - π/2)
Para t = 1,75 π s: (calculadora en modo radianes)
x = 5 cm cos(4 rad/s . 1,75 π s - π/2)
x = 0
V = - 20 m/s . sen(4 rad/s . 1,75 π s - π/2)
V = - 20 /s (hacia la izquierda)
a = - 80 cm/s² cos(4 rad/s . 1,75 π s - π/2)
a = 0
Saludos.