Question

Una partícula p se mueve a lo largo de la gráfica y=√(x^2-4), x≥2 de modo que la abscisa del punto P está aumentando a razón de 5 unidades por segundo. ¿Que tan rápido está aumentando la ordenada (coordenada y) cuando x=3?

Answer 1

La rapidez con que aumenta las ordenadas (coordenada y) cuando x = 3 es:

3√5 unidades/seg

Datos:

Sea, $y =\sqrt{x^{2}-4 }$  

para x≥2  

la abscisa de P aumenta en razón: 5 unidades por segundo.

Aplicar derivada;

$y' =\frac{d}{dx}( \sqrt{x^{2}-4 })$

Aplicar la regla de la cadena: $\frac{df(u)}{dx}= \frac{df}{du}.\frac{du}{dx}$

f = √u , u = x²-4

= d/du(√u).d/dx(x²-4)

d/du(√u) = 1/2√u

d/dx(x²-4) = 2x

= $\frac{1}{2\sqrt{u} }.2x$

Sustituir: u = x²-4

= $\frac{1}{2\sqrt{x^{2}-4} }.2x$

Simplificar;

= $\frac{x}{\sqrt{x^{2}-4} }$

Evaluamos la derivada x = 3;

$y'(3) = \frac{3}{\sqrt{3^{2}-4} }$

$y'(3) = \frac{3}{\sqrt{9-4} }$

$y'(3) = \frac{3}{\sqrt{5 }$

Multiplicamos por la razón: 5;

=$5.\frac{3}{\sqrt{5 }$

=$3\sqrt{5}$

El cambio de las ordenadas para x=3 es 3√5 unidades por segundo.