Question

Una particula ejecuta un movimiento armonico simple de modo que su posicion varia con respecto a ala expresion x=(6cm)cos(2t+π/6). Donde x esta dada en cm y el tiempo en segundos.
a) encuentra los parametros del movimiento en su inicio cuando t=0
b) la frecuencia y el periodo de oscilacion
c) los maximos valores para posicion velocidad y aceleracion

Answer 1

El movimiento armónico simple describe a una particula que ha sido sometido a una fuerza proporcional a su desplazamiento. Esta variación de posición genera un movimiento periódico, es decir, que se repite cada cierto intervalo de tiempo.

Este movimiento está regido por una ecuación sinusoidal que tiene la siguiente forma:

$x(t)=Acos(\omega t+\phi )$

Donde,

x = Representa posición.

A = Es la amplitud del movimiento (elongación máxima).

ω = Frecuencia angular.

t = Tiempo.

φ = Fase.

• Parámetros del movimiento cuando t=0.

Sabemos que la expresión de la posición viene dada por

$x(t)=6cos(2t+\frac{\pi}{6}) \quad [cm]$

A partir de ella podemos obtener la expresión de la velocidad, ya que

$v(t)=\frac{dx(t)}{dt}$  

Por lo tanto,    

$v(t)=\frac{d}{dt}[6cos(2t+\frac{\pi}{6})]$

Recordemos que $\frac{d}{dx}[cos(ux)]=\frac{d}{dx}(ux) \cdot \frac{d}{du}[cos(ux)]=-usen(ux)$

Finalmente

$v(t)=-12sen(2t+\frac{\pi}{6})$

Evaluamos en t=0

$v(t=0)=-12sen(2(0)+\frac{\pi}{6})\\v(t=0)=-12sen(\frac{\pi}{6})\\v(t=0)=-6 \quad cm/s$

Si derivamos la ecuación de la velocidad, encontraremos la ecuación de aceleración, ya que

$a(t)=\frac{dv(t)}{dt}$

Por lo tanto,

$a(t)=\frac{d}{dt}[-12sen(2t+\frac{\pi}{6})]$

$a(t)=-24cos(2t+\frac{\pi}{6})$

Evaluamos en t=0

$a(t=0)=-24cos(2(0)+\frac{\pi}{6})\\a(t=0)=-24cos(\frac{\pi}{6})\\a(t=0)=-20,78 \quad cm/s^{2}$

• Frecuencia y el periodo de oscilación

De la expresión original de x(t) podemos obtener la frecuencia angular de la onda, ω=2.

Utilizando la siguiente relación obtendremos la frecuencia

$f=\frac{\omega}{2\pi} = \frac{2}{2\pi}$

Por lo tanto,

$f=0,32 \quad Hz$

Luego, encontramos el período

$T=\frac{2\pi}{\omega} =\frac{2\pi}{2}$

Por lo tanto,

$T=3,14 \quad s$

• Máximos valores para posicion, velocidad y aceleracion.

Posición: $x(t)=6cos(2t+\frac{\pi}{6})$

Velocidad: $v(t)=-12sen(2t+\frac{\pi}{6})$

Aceleración: $a(t)=-24cos(2t+\frac{\pi}{6})$

Tanto el seno como el coseno encuentra su amplitud máxima en 1 y -1, esto representa el rango de la función, por lo que:

Posición máxima = 6 cm

Velocidad máxima = -12 cm/s

Aceleración máxima = -24 cm/s^2