Una partícula de masa m se encuentra en el punto más alto de una semiesfera lisa de radio R, la cual está apoyada sobre una superficie horizontal, tal como se muestra en la figura 6.73. Desplazada ligeramente de su posición de equilibrio, la partícula desliza sobre la superficie. Determinar: (a) La velocidad v de la partícula en función del ángulo θ que forma su radio vector. (b) El valor de la fuerza normal N en función de θ. (c) El valor del ángulo θ, en el instante en que la partícula se desprende de la superficie
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Explicación:
Una cúpula semiesférica fija
La partícula se encuentra inicialmente en reposo sobre el vértice de la cúpula, en una posición de equilibrio inestable. Cuando se desvía ligeramente de esta posición, la partícula desliza sin rozamiento, incrementando su velocidad hasta que llega un momento en el que deja de estar en contacto con la cúpula. En este apartado, calcularemos la posición θc para la cual la reacción N de superficie semiesférica es nula.
Conservación de la energía
La energía de la partícula en la posición inicial θ=0, es
Ei=mgR
La energía de la partícula en la posición θ es
E
f
=
1
2
m
v
2
+
m
g
R
cos
θ
Aplicando el principio de conservación de la energía Ei=Ef, calculamos la velocidad del móvil v en la posición θ
v
2
=
2
g
R
(
1
−
cos
θ
)
v
=
2
√
g
R
sin
(
θ
2
)
Dinámica
Las fuerzas que actúan sobre la partícula son
el peso mg
la reacción de la cúpula N.
La partícula describe un movimiento circular con aceleración tangencial at y aceleración normal an. Estas aceleraciones se determinan aplicando la segunda ley de Newton a un movimiento circular de radio R
Ecuación del movimiento en la dirección tangencial
mg·sinθ=mat
Ecuación del movimiento en la dirección normal
mg·cosθ-N=man
La segunda ecuación, junto al principio de conservación de la energía, nos permite calcular la reacción del plano N, en la posición θ
N
=
m
g
cos
θ
−
m
v
2
R
N
=
3
m
g
cos
θ
−
2
m
g
La partícula deja de estar en contacto con la cúpula cuando la reacción N se anule. Para el ángulo θc tal que
cos
θ
c
=
2
3
Aproximadamente, 48º medidos desde la vertical. Como vemos el ángulo límite es independiente del radio de la cúpula, de la masa de la partícula y de la aceleración de la gravedad g.
La velocidad de la partícula cuando alcanza en esta posición es
v
2
0
=
2
3
g
R
Ecuación del movimiento
La ecuación del movimiento en la dirección tangencial, nos permite calcular la posición angular θ en función del tiempo t.
R
d
2
θ
d
t
2
=
g
sin
θ
Que se resuelve por procedimientos numéricos. Si se establece las condiciones iniciales t=0, θ=0, dθ/dt=0. La partícula permanece todo el tiempo en esta posición de equilibrio inestable. Las condiciones iniciales serán t=0, θ=θ0, dθ/dt=ω0.Donde θ0 es un pequeño ángulo y ω0 es la velocidad angular de la partícula correspondiente a este ángulo, que se calcula aplicando el principio de conservación de la energía. En la figura, se representa la posición θ de la partícula en función del tiempo t