Question

Una partícula de 1 g de masa oscila con un MAS de 103 Hz de frecuencia y una aceleración en el extremo de su recorrido de 8,0 × 103 m/s2. Calcula: a. la pulsación; b. la amplitud del movimiento; c. la velocidad de la partícula cuando la elongación es de 1,2 mm. d. Si la velocidad es de 4 m/s cuando t = 2 s, determina la fase inicial y escribe las ecuaciones de la elongación, la velocidad y la aceleración.

Answer 1

En el movimiento oscilatorio armónico que se plantea, la pulsación es de 647 radianes por segundo, la velocidad cuando la elongación es 1,2mm es de 12,3 metros por segundo, la amplitud del movimiento es 1,91 centímetros y para que la velocidad a los 2 segundos sea 4 metros por segundo, el movimiento tiene que iniciar con una fase de 90°

Explicación:

En un movimiento armónico simple, las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración siguen leyes senoidales, así podemos establecer una ecuación de posición:

$x=A.sen(wt)$

Donde A es la amplitud, es decir la máxima excursión del móvil respecto al punto de equilibrio y w la pulsación angular, que define el desplazamiento angular por unidad de tiempo.

a) Tenemos la frecuencia del movimiento que es el número de ciclos por segundo, en cada ciclo la partícula recorre una distancia angular de $2\pi$ por lo que queda:

$w=2\pi.f=2\pi.103Hz = 647s^{-1}$

b) La aceleración se puede escribir como:

$a=\frac{d^2t}{dx^2}=-w^2A.sen(wt)$

La aceleración en el extremo del recorrido es la máxima que la partícula alcanza, por lo que queda:

$w^2A=a_{max}\\\\A=\frac{a_{max}}{w^2}$

Reemplazando valores queda:

$a_{max}=8x10^3\frac{m}{s^2}\\\\A=\frac{8x10^{3}}{647^2}=0,019m=1,9cm$

c) La velocidad la podemos definir como:

$v=\frac{dx}{dt}=wAcos(wt)$

Ahora tenemos que definir a qué desplazamiento angular equivale la elongación de 1,2mm, tenemos que:

$x=19,1mm.sen(wt)\\\\sen(wt)=\frac{x}{19,1mm}=\frac{1,2mm}{19,1mm}=0,0628$

necesitamos el coseno de ese ángulo el cual lo obtenemos mediante la identidad pitagórica:

$cos(wt)=\sqrt{1-0,0628^2}=0,998$

Ahora la velocidad en el momento que x=1,2mm es:

$v=wAcos(wt)=647s^{-1}.0,0191m.0,998=12,3\frac{m}{s}$

d) Manteniendo los mismos parámetros tenemos para la velocidad:

$v=wAcos(wt)$

Y el desplazamiento angular total para que la velocidad a los 2 segundos sea de 4 metros por segundo es:

$cos(wt+\theta)=\frac{v}{wA}=\frac{4m/s}{647s^{-1}.0,0191m}=0,324$

Eso equivale a:

$wt+\theta=arccos(0,324)=71,1\°=1,24rad$

Ahora despejamos la fase inicial y reemplazamos valores:

$wt+\theta=1,24\\\\t=2s=>\theta=1,24-wt=1,24-647s^{-1}.2s=-1292,76=$

Este valor se debe a que en 2 segundos la partícula completó varios ciclos. Si dividimos ese valor por $2\pi$ obtenemos la cantidad de vueltas:

$n=\frac{-1292,76}{2\pi}=-205,75$

Ahora en la vuelta 206 el desplazamiento que se completa es:

$\theta=-0,75.2\pi=-4,704=-270\°=90\°$

De modo que la fase inicial es 90° en adelanto. Nos queda:

$x(t)=1,91cm.sen(647t-\frac{\pi}{2})\\\\v(t)=12,36\frac{m}{s}.cos(647t-\frac{\pi}{2})\\\\a(t)=-8\frac{km}{s^2}.sen(647t-\frac{\pi}{2})$