Question

Una parábola tiene eje focal paralelo al eje y , es tangente al eje x en el punto A(2,0) y también es
tangente a la recta 2x-y-2=0.

Answer 1

Respuesta: $y = \frac{-1}{2}x^{2}+2x-2$    

Explicación paso a paso:

Toda ecuación de una parábola con eje focal paralelo al eje y puede ser escrita como $y=a^{2} +bx+c$. (A)

Aplicaremos las condiciones del problema para ir despejando cada uno de los parámetros a, b y c.

Si el vértice es V=(2,0) ⇒ las coordenadas del punto satisfacen la ecuación (A) y además xv=$\frac{-b}{2a}$ y xv=2

i) 0 = $a.2^{2} +b.2+c$ ⇒ 4a + 2b + c =0

ii) $\frac{-b}{2a}$ = 2 ⇒ b = -4a

Sustituyendo ii) en i) tenemos:

iii) 4a - 8a + c =0 ⇒ c= 4a

Sustituyendo ii) y iii) en la ecuación (A) tenemos:

$y = ax^{2}-4ax+4a$                (B)

Por otro lado, el sistema de ecuaciones formado por la ecuación (B) y la ecuación de la recta dada 2x-y-2=0 debe tener una única solución ya que la recta es tangente a la parábola y por tanto comparten solo un punto.

Planteamos el sistema:

$\left \{ {{ax^{2} -4ax+4a} \atop {2x-y-2=0}} \right.$

Despejando y en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera ecuación, y exigiendo que el discriminante de la ecuación cuadrática sea cero (Δ = 0 para que sea raíz doble, con Δ = $b^{2} - 4ac$) obtenemos:

$ax^{2} - (4a+2)x +4a +2 =0$ ⇒

Δ =$[-(4a+2)]^{2} -4.a.(4a+2)=0$ ⇒

8a = -4 ⇒

a = $\frac{-1}{2}$

Luego finalmente sustituimos el valor de a hallado en la ecuación (B) para encontrar la solución dada.

Para ver más información sobre la posición relativa de una parábola y una recta y como el Δ juega un rol en ello, sigue este enlace: https://brainly.lat/tarea/11467889

Mira la imagen adjunta para ver la parábola y la recta en un mismo gráfico.

Espero te sea de utilidad Bccll, saludos.