Question

Una parábola pasa por P=(-2,4) y Q=(8,-1); su directriz es y=-6. Hallar su ecuación.

Answer 1

Respuesta:

 $Sol1:x^2-8x-4y-4=0\\ Sol2:x^2-16x-20y+44=0$

Explicación paso a paso:

Una parabola se define como la serie de puntos tales que la distancia entre la directriz y dicho punto es igual a la distancia entre el foco y el punto.

Nos iremos por un camino largo, pero el cual  podrás aplicar cuando tengas tambien parabolas  inclinadas, es decir, una directriz de forma D:Ax+By+C=0

Dada una directriz $Ax+By+C=0$

La distancia al punto $(x_0,y_0)$ será $d=\frac{|A*x_0+B*y_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2} }$

Y la distancia entre dos puntos, con el foco $(x_1,y_1)$, es $d=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$

Por tanto,

$\frac{|A*x_0+B*y_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2} }=\sqrt{(x_0-x_1)^2+(y_0-y_1)^2}$

Dada la directriz D:y+6=0

Y dos puntos de una parábola.

P=(-2,4)

Q=(8,-1)

$Ecuacion 1: \frac{|1*(4)+6|}{1}=\sqrt{(-2-x_1)^2+(4-y_1)^2}\\ Ecuacion 2: \frac{|1*(-1)+6|}{1}=\sqrt{(8-x_1)^2+(-1-y_1)^2}$

Graficamente, sería la interseción de dos circunferencias.

La solución al sistema de ecuación es

$Foco1:\ (x_1,y_1)=(4,-4)\\ Foco2:\ (x_1,y_1)=(8,4)$

De forma que

$Sol1: \frac{|1*y+6|}{1}=\sqrt{(x-4)^2+(y+4)^2}\\ Sol2: \frac{|1*y+6|}{1}=\sqrt{(x-8)^2+(y-4)^2}$

Elevando al cuadrado y pasando todo hacia un lado obtenemos:

$Sol1:x^2-8x-4y-4=0\\ Sol2:x^2-16x-20y+44=0$