Question

Una palmera de altura h se encuentra en un punto A, a orilla de un

rio que tiene un ancho a, un campesino fija un punto D a 6m de un

punto B ubicada en la otra orilla del rio y frente a la palmera, donde

AD = a+BD. Un estadal (regla graduada) de altura √

3m es situado en

el punto C, punto medio de BD, de tal manera que una l´ınea imaginaria

desde la cima de la palmera hasta el punto D, pasa tangente al estadal.

Si CD

AD = 0,2, ¿cu´anto mide la altura de la palmera y cuanto es el ancho

del rio?​

Answer 1

La palmera tiene una altura de 5√3 metros y el río tiene un ancho de 9 metros.

Explicación paso a paso:

En la figura anexa se observa un triángulo rectángulo formado con la palmera y la distancia horizontal al punto D y la subdivisión que genera un triángulo interior producto de la incorporación del estadal. De igual forma se observa la proyección del ancho del río, desde A hasta B.

Vamos a usar la relación entre las longitudes CD y AD para hallar esta última y semejanza de triángulos para relacionar los lados del triángulo en la subdivisión con la altura h:

1) Calculamos la longitud AD

$\frac{CD}{AD}=0,2 \quad \Rightarrow \quad AD=\frac{CD}{0,2}\quad \Rightarrow \quad$

$AD=\frac{3}{0,2}=15 m$  

2) A partir de AD hallamos el ancho del río (a)

AD  =  a  +  BD      ⇒      15  =  a  +  6        ⇒        a  =  9

El río tiene un ancho de 9 metros

3) Semejanza de triángulos para calcular la altura de la palmera (h)

Triángulo original:    TgD  =  (h)/(AD)  =  (h)/(15)  

Triángulo subdivisión:    TgD  =  (√3)/(3)

Por lo tanto

(h)/(15)  =  (√3)/(3)        ⇒        h  =  5√3

La palmera tiene una altura de 5√3 metros