Question

Una onda electromagnética de $f=45MHz$ y $P_{1} ^{+}=200\frac{mW}{m^{2} }$, proveniente de un generador de ondas ubicado a 30cm de la pared, que impacta desde el aire ($n_{1} =120\pi$Ω) perpendicularmente en una pared con una impedancia intrínseca $n_{2}=105$Ω y 10 cm de espesor. La pared está hecha de un material no magnético y no disipativo. En el otro lado de la pared hay un receptor ubicado a 20 cm de distancia.


-Calcule el coeficiente de reflexión y transmisión visto por el generador.
-Determine en [%] y [$\frac{mW}{m^{2} }$] la potencia que se transmite al receptor.

Answer 1

Los coeficientes de transmisión y reflexión de potencia son respectivamente 0,682 y 0,318 y el receptor recibe $23,2\frac{mW}{m^2}$ ó un 11,6% de la potencia incidente en la pared.

Desarrollo paso a paso:

Vamos a suponer que la intensidad provista como dato es la que incide en la pared, en la interfaz del aire con la pared los coeficientes de reflexión $\rho$ y transmisión $\tau$ , en función de las impedancias intrínsecas son:

$\rho=\frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1}\\\\\tau=1+\rho=\frac{2Z_2}{Z_2+Z_1}$

Reemplazando por los datos provistos queda:

$\rho=\frac{105\Omega-377\Omega}{105\Omega+377\Omega}=-0,564\\\\\tau=\frac{2.105\Omega}{105\Omega+377\Omega}=0,436$

El signo negativo del coeficiente de reflexión indica que la onda reflejada se desfasará 180° respecto de la incidente. Pero en términos de las potencias incidente y reflejada tenemos los coeficientes de Fresnel de reflexión R y de transmisión T:

$R=|\rho|^2=(-0,564)^2=0,318\\\\T=1-R=1-(0,564)^2=0,682$

Con lo que para el generador el coeficiente de transmisión es de 0,682 y de reflexión es de 0,318.

En cuanto a la pared, esta es de material no magnético y no disipativo por lo que en el transcurso por la pared la onda no sufre atenuación. Solo se tiene en cuenta la disminución de la intensidad con la distancia. La intensidad que se transmite a la pared es:

$P_{tp0}=T.P_i=0,682.200\frac{mW}{m^2}=136\frac{mW}{m^2}$

La intensidad que entra en la pared suponiendo que la antena es una fuente puntual y transmite en todas direcciones es:

$P_{tp0}=\frac{P_E}{4\pi r_1^2}$

Y la que llega al otro lado es:

$P_{tp1}=\frac{P_E}{4\pi r_2^2}$

Queda como relación entre la potencia que entra en la pared y la que llega al final de la misma, el inicio de la pared está a 30cm de la fuente y el final de la misma a 30cm+10cm=40cm:

$\frac{P_{tp1}}{P_{tp0}}\frac{r_1^2}{r_2^2}=\frac{(30cm)^2}{(30cm+10cm)^2}=0,5625$

Con lo que la intensidad que llega a la segunda interfaz es:

$P_{tp1}=0,5625*136\frac{W}{m^2}=76,67\frac{W}{m^2}$

Ahora calculamos el coeficiente de transmisión de la segunda interfaz para hallar cuanta potencia pasa al otro lado de la pared:

$T=1-\rho^2=1-(\frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2})^2=1-(\frac{377\Omega-105\Omega}{105\Omega+377\Omega})^2=0,682$

Ahora la potencia que sale de la pared es:

$P_{tp2}=R.P_{tp1}=0,682.76,67\frac{W}{m^2}=52,26\frac{W}{m^2}$

Como el receptor está a 20cm, hay otra atenuación de intensidad debida a la distancia si suponemos que los frentes de onda siguen siendo esféricos:

$\frac{P_{r}}{P_{tp1}}=\frac{r_2^2}{r_3^2}=\frac{(40cm)^2}{(40cm+20cm)^2}=0,444$

Con lo que la potencia recibida es:

$P_{r}=0,444.p_{tp1}=23,2\frac{mW}{m^2}$