Question

Una motocicleta marca honda (x-Blade 160) costó inicialmente S/.10 020. Al cabo de unos años se vendió a la mitad de su precio. Pasados unos años, volvió a venderse por la mitad, y así sucesivamente. a) ¿Cuánto le costó la máquina al cuarto propietario? b) Si el total de propietarios ha sido 5, ¿cuál es la suma total pagada por esa máquina? Un estudiante del 5°” F” de la I. E “Ofelia Velásquez”, esta desarrollando su tarea y encuentra el siguiente problema:” Si la suma de tres números en progresión geométrica creciente es 28 y su producto 512, ¿cuáles serían esos números? Aplicando la formula

Answer 1

Al resolver los problemas se obtiene:

1. a) El costó de la motocicleta al cuarto propietario es: S/.1252,5

  b) La suma total pagada por esa motocicleta es: S/.19413,75

2. Los números que cumplen con las condiciones Progresión geométrica creciente son:

• a₁ = 4
• a₂ = 8
• a₃ = 16

Una progresión geométrica es una sucesión que se caracteriza por obtener los términos al multiplicar el anterior por una constante r:

aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹

siendo;

• a₁ = S/.10020
• a₂ = S/.10020/2 = S/.5010

Si, r = aₙ₊₁/aₙ₋₁;

r = a₂/a₁

sustituir;

r = 5010/10020

r = 1/2

a) ¿Cuánto le costó la máquina al cuarto propietario?

a₄ = 10020  (1/2)⁽⁴⁻¹⁾

a₄ = 10020  (1/2)³

a₄ = S/.1252,5

b) Si el total de propietarios ha sido 5, ¿Cuál es la suma total pagada por esa máquina?

Sₙ = a₁ (rⁿ - 1)/(r - 1)

sustituir;

S₅ = 10020 [(1/2)⁵ - 1]/(1/2 - 1)

S₅= S/.19413,75

2. Si la suma de tres números en progresión geométrica creciente es 28 y su producto 512, ¿Cuáles serían esos números?

Sₙ = a₁ (rⁿ - 1)/(r - 1); S₃ = 28

aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹

• a₁
• a₂ = a₁  · r
• a₃ = a₁  · r²

sustituir;

28 = a₁ + a₁  · r + a₁  · r²

28 = a₁(1 + r + r²)

a₁ · a₁  · r  · a₁  · r² = 512

a₁³ · r³ = 512

Aplicar raíz cubica;

∛(a₁³ · r³) = ∛512

a₁ · r = 8

Despejar a₁;

a₁ = 8/r

sustituir;

28 = (8/r)(1 + r + r²)

28/(8/r) = 1 + r + r²

7r/2 = 1 + r + r²

r² - 5r/2 + 1 = 0

Aplicar binomio cuadrado;

r₁,₂ = -b±√b²-4ac/2a

siendo;

• a = 1
• b = -5/2
• c = 1

sustituir;

r₁,₂ = (5/2)±√[(-5/2)²-4]/2

r₁,₂ = [(5/2)±(3/2)]/2

r₁ = 2   ⇒ a₁ = 8/2 = 4

• a₁ = 4
• a₂ = 4  · 2 = 8
• a₃ = 4  · 4 = 16

Progresión geométrica creciente

r₂ = 1/2  ⇒ a₂ = 8/(1/2) = 16

• a₁ = 16
• a₂ = 16 · (1/2) = 8
• a₃ = 16 · (1/4) = 4

Progresión geométrica decreciente