Question

una mosca describe una trayectoria dada por la función f(x)=xln(x) encuentre el área que barre este bicho volador en un intervalo entre 0 y 1.

Answer 1

El área de la trayectoria que describe un bicho volador en el intervalo entre 0 y 1, es:

Área: 0.25

Datos:

f(x) = x ln(x)

intervalo: 0, 1

La integral de unan función definida en un intercalo, es el área bajo la curva. Esto quiere decir que si integramos la función que describe la trayectoria del bicho, obtendremos el área que barre este bicho.

$\int\limits^1_0 {xln(x)} \, dx$

Aplicamos integral por partes;

∫u.v = u.v - ∫v.du

donde;

u = ln(x)  ⇒ du = 1/x dx

dv = xdx  ⇒ v = x²/2

Sustituyo;

∫xln(x) = (1/2)x².ln(x) - ∫x²/2 (1/x)dx

∫xln(x) = (1/2)x².ln(x) - 1/2∫xdx

Resolvemos;

1/2∫xdx = (1/2)(x²/2)

Sustituyo;

$\int\limits^1_0 {xln(x)} \, dx = [\frac{1}{2}x^{2}.ln(x) - \frac{x^{2} }{4} ]_{0} ^{1}$

El área es el modulo de la integral evaluada en intervalo;

$[\frac{1}{2}x^{2}.ln(x) - \frac{x^{2} }{4} ]_{0} ^{1}$

$<strong>|</strong>- \frac{x^{2} }{4}_{0} ^{1}|$ = |-1/4| = 1/4 = 0.25